Материал: УМК Коровкин-Кулик

Жесткая заделка или защемление. Так называется связь, ограничи-

вающая любые перемещения тела. В жесткой заделке появляется система сил реакций, которую обычно представляют в виде одной силы (сила реак- ции жесткой заделки) и одной пары сил с моментом М (реактивный мо- мент). При решении задач их раскладывают на составляющие силы и мо- менты, которые символизирует ограничение того или иного движения те- ла. Например, в случае плоской системы сил они представляются в виде

X A , Y A и mɶ A (рис. 1.12), которые показывают, что тело не может свобод- но перемещаться в направлении этих сил (или в противоположном направ- лении) и не может поворачиваться вокруг точки А. В случае пространст- венной системы сил реакцию жесткой заделки представляют в виде трех

составляющих сил X B , Y B , Z B и трех моментов MBx , MBy и MBz относи- тельно осей x, y и z (рис. 1.13). Их направление принимают произвольно, и после решения задачи, то есть после вычисления составляющих сил реак- ций и реактивных моментов, уточняют эти направления.

1.3. Системы сходящихся сил

Сходящимися называются силы, линии действия которых пересека- ются в одной точке.

Если линии действия всех сил системы лежат в одной плоскости, то она называется плоской, в противном случае – пространственной.

Сложением сходящихся сил называется операция определения их равнодействующей.

16

Простейшую систему образуют две силы, сходящиеся в одной точке. Ранее мы выяснили, что силу, приложенную к твердому телу, можно пере- носить по ее линии действия и прикладывать в любой точке тела. А из ак- сиомы III следует, что силы могут быть заменены одной силой, величина и направление которой совпадают с диагональю параллелограмма, постро- енного на векторах этих сил. Поэтому можно записать

Этот способ сложения двух сил называется правилом параллело-

грамма сил.

Нетрудно видеть, что для нахождения равнодействующей силы не- обязательно строить параллелограмм: достаточно к концу одной силы (на- пример, первой) перенести вектор второй силы, а затем из начала первой провести вектор к концу второй (перенесенной) силы (рис. 1.14). Полу- чившийся треугольник называется силовым, а соответствующее правило нахождения равнодействующей силы – правилом силового треугольника.

Рис. 1.14. К понятию сложения сил

Равнодействующую двух сходящихся сил можно найти и с помощью вычислений:

Чтобы найти равнодействующую в том случае, когда на тело дейст- вует большое число сходящихся сил (рис. 1.15), можно воспользоваться правилом силового треугольника последовательно для сложения сначала двух, затем трех и так далее сил. В результате получим так называемый си- ловой многоугольник, в котором вектор, проведенный из начала первой си- лы к концу последнего перенесенного вектора, и будет изображать иско- мую равнодействующую:

k =1

17

При построении силового многоугольника может получиться так, что конец последней перенесенной силы (Fn) попадает в начало первой, то есть многоугольник замкнется (рис. 1.16). В этом случае равнодействую- щая сила системы окажется равной нулю и, следовательно, данная система сил эквивалентна нулю, то есть находится в равновесии.

Отсюда заключаем, что для равновесия системы сходящихся сил не- обходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник, построенный на этих силах, был замкнут.

Например, если угол a острый, то cos (a) > 0 и Fx > 0; если 90° > a > 270°, то Fx < 0 и т. д.

В частных случаях, когда a = 0 (то есть сила параллельна оси проек- ций и имеет такое же направление), F1x = F1; если вектор силы перпенди- кулярен к оси проекций, то F2x = 0, поскольку cos 90° = 0, и т. д.

Рассмотрим теперь определение равнодействующей сходящихся сил с помощью проекций.

18

Пусть задана система сходящихся сил ( F 1, F 2, F 3, F 4), на которых

→

построили силовой многоугольник ABCDE, где вектор AE соответствует

равнодействующей силе R данной системы (рис. 1.18). Выберем ось x и найдем проекции каждой силы на эту ось. Получаем

То есть, проекция равнодействующей системы сходящихся сил на ось равна алгебраической сумме проекций сил, составляющих эту систему.

Полученный результат можно применить и к определению проекции равнодействующей силы на любую другую ось (например, y и z прямо- угольной пространственной системы координат Oxyz). Следовательно, в случае системы, состоящей из n сил,

В случае пространственной системы сходящихся сил величина силы R находится как длина диагонали прямоугольного параллелепипеда, реб-

19

Рис. 1.19. К выводу формул (1.7) и (1.8)

Направление равнодействующей, то есть углы, образуемые ею с ося- ми Ox, Oy и Oz, можно найти из формул

Получим теперь аналитические уравнения равновесия сходящихся сил. Как мы установили ранее, для равновесия сходящихся сил необходи-

мо и достаточно, чтобы силовой многоугольник, построенный на векторах

сил системы, был замкнут, то есть R = 0 . Следовательно, для равновесия пространственной системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие три уравнения равновесия:

а в случае плоской системы сходящихся сил – два уравнения, так как все- гда можно принять ось Oz перпендикулярной к плоскости, в которой дей- ствуют силы системы:

Итак, для равновесия системы сходящихся сил необходимо и доста- точно, чтобы сумма проекций всех сил системы на каждую из коорди- натных осей равнялась нулю.

Теорема о равновесии трех сил. Если три непараллельные силы,

приложенные к твердому телу, уравновешиваются, то эти силы рас- положены в одной плоскости и линии действия их пересекаются в од- ной точке.

20