Материал: УМК Коровкин-Кулик

Итак, силы, приложенные в точке О, заменили одной силой R *. Эта

сила, равная геометрической сумме сил системы, называется ее главным вектором. Очевидно, что он не зависит от центра приведения.

Теперь сложим присоединенные пары, появившиеся при параллель- ном переносе сил заданной системы в центр приведения О:

k =1

Этот момент называется главным моментом системы сил относи-

тельно центра приведения О. При перемене центра приведения он будет иметь другое значение, поскольку его слагаемые зависят от положения этой точки.

Таким образом, в результате приведения к точке О заданная систе- ма сил заменена более простой эквивалентной системой, состоящей из одной силы (главный вектор системы) и одной пары сил с моментом, рав- ным главному моменту системы сил относительно центра приведения О:

(F1, F2 ,..., Fn ) ~ (R*, M ).

Следовательно, плоские системы сил эквивалентны между собой, если они имеют одинаковые главные векторы и главные моменты.

Чтобы упростить заданную плоскую систему сил, нет необходимости выполнять все указанные преобразования. Достаточно определить величи- ну и направление главного вектора, а также вычислить главный момент системы относительно центра приведения.

Приняв точку О за начало системы координат Oxy, можем записать:

Зная проекции главного вектора на оси Ox и Oy, находим его вели- чину и направление:

26

Главный момент системы относительно точки О вычисляется по формуле (1.21).

При вычислении R * и M0 могут получиться следующие результаты: 1) R* ¹ 0 , а M0 = 0 . Это означает, что данная система сил эквива-

лентна одной силе, то есть приводится к равнодействующей, причем эта равнодействующая по величине и направлению совпадает с главным век- тором и приложена в центре приведения О;

2) R* = 0 , а M 0 ¹ 0 . В этом случае система приведена к паре сил с моментом, равным главному моменту системы.

Так как пару сил можно переносить в плоскости ее действия в любое другое место, то при перемене центра приведения результат не изменится и система сил будет эквивалентна одной и той же паре с одним и тем же моментом;

3) R* ¹ 0 , а M 0 ¹ 0 . Такая система сил допускает дальнейшее упро-

щение и приводится к равнодействующей силе;

4) R* = 0 , а M0 = 0 . В данном случае исходная система сил эквива-

лентна нулю, то есть находится в равновесии.

Вернемся к рассмотрению случая приведения произвольной плоской системы сил к центру О, когда главный вектор и главный момент некото- рой системы сил не равны нулю. Предположим, что получили систему, по- казанную на рис. 1.27.

R1

Рис. 1.27. К вопросу приведения плоской системы сил к равнодействующей

Заменим главный момент парой сил (R1, R) . Силы этой пары примем равными главному вектору R1 = R = R * и одну из них приложим в точке О,

направив ее противоположно R *. Линия действия другой силы этой пары пройдет на расстоянии OO1 , равном плечу пары:

В полученной системе трех сил R * и R1 уравновешиваются, и их можно из рассмотрения исключить. После этого останется одна сила, гео- метрически равная главному вектору системы и приложенная в точке О1. Так как она эквивалентна первоначальной системе сил, то является ее рав- нодействующей.

Итак, в рассматриваемом случае ( R* ¹ 0 и M 0 ¹ 0 ) система сил при-

водится к равнодействующей.

Теорема Вариньона. Если плоская система сил имеет равнодейст- вующую, то ее алгебраический момент относительно любого центра О равен сумме алгебраических моментов сил системы относительно того же центра.

Таким образом, для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций сил системы на каж- дую из двух координатных осей и сумма их моментов относительно любо- го центра, лежащего в плоскости действия сил, равнялись нулю.

Система (1.28) называется основной формой уравнений равновесия произвольной плоской системы сил. Для составления этих уравнений оси проекций x и y, а также центр моментов О могут выбираться совершенно произвольно в плоскости действия сил системы. Пользуясь этим правом выбора, можно заменить уравнения проекций на уравнения моментов от- носительно других центров и получить еще две системы:

(ось проекций x не должна быть перпендикулярна к прямой ОА);

28

(центры моментов В, А и О не должны находиться на одной прямой).

Системы (1.29) и (1.30) называются соответственно второй и третьей формами уравнений равновесия произвольной плоской системы сил.

Ограничения на выбор центров моментов обусловлены следующим.

Предположим, что система сил приводится к равнодействующей R *. Поскольку об этом заранее не известно, то может случиться так, что вы-

бранная ось проекций окажется перпендикулярной к силе R *, а центры моментов О и А – на линии ее действия (рис. 1.28). Тогда уравнения систе- мы (1.29) будут выполняться. То есть, приходим к противоречию: уравне- ния равновесия выполняются, хотя система сил не является уравновешен- ной. Во избежание подобных случаев и вводятся указанные ограничения.

Система двух параллельных сил является плоской, так как через их линии действия всегда можно провести плоскость.

Пусть к твердому телу в точках А и В приложены две силы F1 и F2 ,

направленные по параллельным прямым в одну сторону (рис. 1.29).

Главный вектор этой системы R* = F1 + F2 направлен в ту же сторо-

ну, что и заданные силы, и параллелен им. Его модуль равен сумме вели-

чин сил F1 и F2 и отличен от нуля. В этом случае система сил приводится к равнодействующей, причем ее величина и направление такие же, как и у

29

Чтобы найти точку, через которую проходит линия действия силы R , воспользуемся теоремой Вариньона. Предположим, что равнодействующая сила системы проходит через какую-то точку С на прямой АВ. Примем эту точку за центр моментов, и по теореме Вариньона будем иметь:

AC / CB = F2 / F1.

Точка С, через которую проходит линия действия равнодействую- щей системы двух параллельных сил, направленных в одну и ту же сторо- ну, делит отрезок АВ между точками приложения сил системы на части, обратно пропорциональные величинам этих сил.

Взаключение отметим следующее: если силы F1 и F2 повернуть в одну

иту же сторону на угол α, то все сказанное выше останется без изменений. Это означает, что точка С является геометрической характеристикой системы параллельных сил: через нее всегда проходит линия действия равнодейст- вующей двух параллельных, одинаково направленных сил, имеющих задан- ные величины, независимо от их направления по отношению к прямой АВ. Эта точка называется центром системы двух параллельных сил.

Рассмотрим плоскую систему параллельных сил (рис. 1.30).

Для ее равновесия необходимо и достаточно, чтобы выполнялись общие для любой плоской системы сил условия равновесия: главный век- тор и главный момент системы относительно любого центра должны быть равны нулю. Полученные из этих условий аналитические уравнения (1.28) применимы и в данном случае. Вспомним, что на выбор осей проекций и центра моментов для составления этих уравнений не накладываются ника- кие ограничения. Но так как линии действия сил рассматриваемой системы параллельны, то сумма проекций сил системы на ось, перпендикулярную к ним (например, на ось Oy), будет тождественно равна нулю. Исключив по этой причине одно из уравнений системы (1.28), получаем, что для равно-

весия плоской системы параллельных сил необходимо и достаточно, что- бы выполнялись два уравнения:

В качестве уравнений равновесия могут быть использованы и дру- гие, например:

30