Материал: УМК Коровкин-Кулик

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Составная балка AD, лежащая на трёх опорах, состоит из двух балок, шарнирно соединенных в точке С. На балку действуют верти- кально силы, равные 20 кН, 60 кН, 30 кН. Размеры указаны на рисунке. Определить реакции опор А, В, и D (рис. 83).

Рис. 83

Задание 2. Две балки BC и CD соеди- нены в С цилиндрическим шарниром В и прикреплены к вертикальной стойке АВ, за- щемленной в сечении А, а цилиндрическим шарниром D соединены с полом. К балкам приложены горизонтальные силы Р1 и Р2. Определить горизонтальную составляющую реакции в сечении А. Размеры указаны на

рис. 84.

Рис. 84

211

Общее уравнение динамики

Цель занятия: научиться определять ускорения точек механической системы с помощью общего уравнения динамики.

Совместное применение принципа Даламбера и принципа возмож- ных перемещений дает возможность использовать при исследовании дви- жения системы выражение общего уравнения динамики

∑δAка + ∑δАки = 0 ,

где ∑δAка – сумма элементарных работ активных сил; ∑δАки – сумма эле-

ментарных работ сил инерции.

Общее уравнение динамики применяется для составления диффе- ренциальных уравнений движения системы материальных точек с одной или несколькими степенями свободы. При применении общего уравнения динамики к решению задач рекомендуется следующая последовательность действий:

1.Определить число степеней свободы системы, равное числу неза- висимых возможных перемещений.

2.Показать на рисунке действующие на систему активные силы (в случае неидеальных связей заменить их реакциями, включив их в число активных сил).

3.Задав направление ускорения одного из тел системы, показать на рисунке главные векторы сил инерции и главные моменты сил инерции.

4.Сообщить системе возможное перемещение, соответствующее одной из ее степеней свободы, считая остальные независимые возможные перемещения равными нулю, и найти зависимость между возможными пе- ремещениями, выразив их через какое-либо одно возможное перемещение.

5.Найти сумму работ активных сил и сил инерции на возможном перемещении системы.

6.Подставив все найденные выражения и зависимости в общее уравнения динамики, составить уравнение дифференциального движения системы.

7.Найти неизвестные величины.

Пример 1. Груз А массой m1, который подвешен на невесомой не- растяжимой нити, переброшенной через невесомый блок Д и намотанной на шкив В радиусом R, заставляет связанный со шкивом вал радиусом r ка- титься без скольжения по горизонтальному рельсу. Общая масса шкива и

212

вала равна m2 , их радиус инерции относительно центральной оси равен ρ. Найти ускорение груза А (рис. 85).

Решение. Связи, наложенные на систему, – идеальные, система име- ет одну степень свободы. Приложим к системе активные силы (Q = m2g;

P = m1g). Задаем направление a , показываем на рисунке силы инерции и момент сил инерции

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. К системе блоков, изображенной на рис. 86, подвешены грузы: М1 массой 10 кг и М2 мас- сой 8 кг. Определить ускорение ω2 груза М2 и натя- жение нити, пренебрегая массами блоков.

Рис. 86

213

ки. Скольжение между стержнем и катками, а также между катками и го- ризонтальной плоскостью отсутствует. Найти ускорение стержня DE. Кат- ки считать однородными круглыми цилиндрами (рис. 87).

Уравнение Лагранжа II рода

Цель занятия: изучение особенностей составления уравнения Ла- гранжа II рода.

Обобщенными координатами называются независимые параметры, однозначно определяющие положение точек механической системы, число которых равно числу степеней свободы (обозначается q). Выбор этих ко- ординат обоснован условиями задачи.

Обобщенная сила Q определяется по формуле

обобщенная сила; q – обобщенная координата.

При составлении уравнений Лагранжа II рода для заданной механи- ческой системы рекомендуется следующая последовательность действий:

1.Установить число степеней свободы и выбрать обобщенные ко- ординаты.

2.Показать на рисунке действующие на систему активные силы.

3.Вычислить кинетическую энергию системы в ее абсолютном движении и выразить эту энергию через обобщенные координаты и обоб- щенные скорости.

4.Вычислить обобщенные силы, последовательно задавая элемен- тарные положительные приращения обобщенных координат.

5.Подсчитываем соответствующие производные и составляя урав- нение Лагранжа определяем неизвестные величины.

214

Пример 1. Каток А массой М1 ,

скатываясь без скольжения по наклонной плоскости вниз, поднимает посредством нерастяжимой нити, переброшенной че-

рез блок В, груз С массой М2. При этом блок В вращается вокруг неподвижной оси О, перпендикулярной к его плоско-

сти. Каток А и блок В – однородные

круглые диски одинаковой массы и ра-

Рис. 88

диуса. Наклонная плоскость образует

угол α с горизонтом. Определить ускорение оси катка. Массой нити пре-

небречь (рис. 88).

Решение. Система имеет одну степень свободы, связи, наложенные на систему, – идеальные. Примем в качестве обобщенной координаты ли-

нейные перемещения оси катка А.

Q = x.

Записываем уравнение Лагранжа II рода:

Вычислим кинетическую энергию системы:

T = TA + TB + TC ;

Выразим все скорости через обобщенную скорость:

215