Материал: УМК Коровкин-Кулик

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

	Задание 2. Тележка поворотного подъемного
крана движется с постоянной скоростью υ относи-
тельно стрелы. Мотор, вращающий кран, создает в
период разгона постоянный момент, равный m0.
Определить угловую скорость ω вращения крана в
зависимости от расстояния x тележки до оси враще-
ния	АВ, если масса тележки с грузом равна М,
J –	момент инерции крана (без тележки) относи-
тельно оси вращения; вращение начинается в мо-
мент, когда тележка находится на расстоянии х0 от		Рис. 68
оси АВ (рис. 68).

Теорема об изменении кинетической энергии системы

Цель занятия: научиться определять кинетическую энергию и рабо- ту сил. Рассмотреть применение теоремы при определении кинематиче- ских характеристик тел системы.

Кинетическая энергия системы

T = ∑ mкVк . 2

Кинетическая энергия твердого тела: а) при поступательном движении

Tпост = 1 MV 2 ;

б) при вращательном движении

Tвр = 1 J ω2 ; 2

в) при плоскопараллельном движении

Tпл.|| = 1 MVc2 + 1 Jcω2 .

2 2

Работа силы, приложенной к телу: а) движущемуся поступательно

A = FS cos ϕ ;

при ϕ = 0	A = FS ;
при ϕ = 90°	A = 0 ;
при ϕ = 180°	A = −FS ;

б) при вращательном движении

A = ±mz (F )ϕ ,

где mz ( F ) – момент силы F относительно оси вращения.

201

Для определения ускорения тела применяется теорема об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме

dT = ∑dAke + ∑dAki .

При определении скоростей точек или тел системы в интегральной форме

T − T0 = ∑ Ake + ∑ Aki .

Пример 1. Доска ве- сом Р1 лежит на двух ци- линдрических катках ра- диусом r и весом Р2 каж- дый. Вся система движется под действием заданной го-

Рис. 69

ризонтальной силы F, при- ложенной к доске; при этом предполагается, что катки катятся без сколь- жения. Найти ускорение доски (рис. 69).

Решение. Для определения а1 применяем теорему dT = ∑dAke .

Так как доска движется поступательно, а катки плоскопараллельно, то

T = T + 2T =

V 2 + 2

V 2 +

ω2

;

2 g

V =

;

ω =

т.к. точка Рv –

МЦС катка;

J0 =

m r

P r2

– момент инерции катка;

P V 2

1 P V 2

V 2

T =

V 2 + 2

2 1

P +

4 g 4

перпендикулярны к скоростям точек их при-

Так как силы

ложения, то работа этих сил равна нулю.

∑dAe = dA( F ) = FdS .

Подставляя в выражение теоремы и разделив обе части на dt, получаем

P +

dV1

= F

; a =

P +

202

Пример 2. К барабану ворота радиу-
сом r1 и массой m1 приложен постоянный
вращающий момент М. К концу троса, намо-
танного на барабан, прикреплена ось С коле-
са, масса которого равна m2. Колесо катится
без скольжения вверх по наклонной плоско-
сти, образующей угол α с горизонтом. Какую
угловую скорость приобретет барабан, сделав
N оборотов? Барабан и колесо считать одно-	Рис. 70
родными круглыми цилиндрами. В началь-

ный момент система находилась в покое (рис. 70). Массой троса и трением в шарнирах пренебречь.

Решение. Применяем теорему об изменении кинетической энергии системы в интегральной форме

T − T0 = ∑ Ake + ∑ Aki .

Работа внутренних сил ∑ Aki = 0 .

T0 = 0 по условию задачи,

		T = ∑ Ae .
				k
Кинетическая энергия системы
T = T + T =	1	J ω2	+	1	m V 2		+	1	J ω2	,
T = T + T =		J ω2	+		m V 2		+		J ω2	,
1 2	2 1 1		2			2 c		2 c 2

т.к. тело 1 вращается вокруг неподвижной оси, тело 2 движется плоскопа- раллельно.

Моменты инерции

m r

1 1

; J

2 2

;

T =

m1r12

ω2

m ω2r2

m1r22

ω22r12

= ω12r12 (m + 3m

) ,

2 2 1

2 1 1

2 2

r22

т.к. V = ω r

; ω =

ω1r1

1 1

При повороте барабана на угол ϕ = 2πN совершают работу момент М и сила Р2, работа остальных сил будет равна нулю.

A(M ) = M ϕ = M 2πN ;

A( P2 ) = −m2 g sin αSc ,

где Sc = ϕr1 = 2πNr1 – перемещение точки С.

203

∑ Ae = M ϕ − m g sin αS					c	= 2πN ( M − m gr sin α) .
k		2			c			2 1
Приравниваем Т и ∑ Ae
		k
ω12r12 (m + 3m ) = 2πN (M − m gr sin α);
4	1	2					2	1
4

	ω1 =	2	2πN	M − m2 gr1 sin α
									.
							m1 + 3m2		.
		r1					m1 + 3m2
Задания для самостоятельного решения
		Задание 1.					Груз А массой М1, опускаясь вниз,
	при помощи троса, перекинутого через неподвиж-

ный блок D, поднимает вверх груз В массой М2, прикрепленный к оси подвижного блока С. Блоки C и D считать однородными сплошными дисками мас- сой М3 каждый. Определить скорость груза А в мо- мент, когда он опустится на высоту h. Массой троса, проскальзыванием по ободам блоков и силами со- противления пренебречь. В начальный момент сис- тема находилась в покое (рис. 71).

Рис. 71

Задание 2. К грузу А массой М1 прикреплена нерастяжимая нить, переброшенная через блок D массой М2 и намотанная на боковую по- верхность цилиндрического катка В массой М3. При движении груза А

вниз по наклонной плоскости, рас-

Рис. 72

положенной под углом α к горизон- ту, вращается блок D, а каток В ка- тится без скольжения вверх по наклонной плоскости, образующей с гори-

зонтом угол β (рис. 72).

Определить скорость груза А в зависимости от пройденного им пути S, если в начальный момент система находилась в покое. Блок D и каток В считать однородными круглыми цилиндрами. Силами трения и массой ни- ти пренебречь.

204

Принцип Даламбера

Цель занятия: изучить применение принципа Даламбера к определе- нию динамических реакций опор.

Если к каждой точке движущейся системы приложить силу инерции этой точки, то все силы инерции будут уравновешиваться заданными си- лами и реакциями связей.

	F	+	N	к	+ F и = 0 (к = 1, 2, 3,…, n).
	к			к	к
Сила инерции точки

Fku = mk ak

и направлена противоположно вектору a .

Силы инерции при движении механической системы приводятся к силе, равной главному вектору и паре сил с моментом, равным главному моменту:

а) при поступательном движении твердого тела силы инерции при- водятся к одной силе

F u = −M a ;

б) при вращательном движении вокруг оси, проходящей через центр масс, силы инерции приводятся к паре сил с моментом

M uu = J ε ,

направленным противоположно направлению ε; в) при плоскопараллельном движении твердого тела силы инерции

приводятся к силе, равной главному вектору,

Ru = −Mac ,

и паре сил с моментом

M u = J ε .

Пример 1. Электромотор, установленный на горизонтальной балке, поднимает с помощью троса груз весом Р1 = 2000 Н. Радиус барабана, ук- репленного на оси мотора, r = 0,4 м.

Момент инерции барабана вместе с ротором J = 40 кг·м2. Определить динамические реакции опор А и В,

если груз поднимается с ускорением а = 1 м/с2; АВ = 3 м; масса балки

80 кг; b = 0,6 м (рис. 73).

Рис. 73

205

Источник: https://studfile.net/preview/16531417/

Смотрите также:



17. Введение 18. Линейные программы 19. Ветвления 20. Программирование циклических алгоритмов
Сборные железобетонные ребристые плиты перекрытия
_-___-~1
_3 тема - Диффузия
_Роджерс Карл, Брак и его альтернативы
_Штерн Вильям, Дифференциальная психология и ее методические основы
- Описание типа СЭТ7009
- Программа ГПИ