Материал: ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА_ГОРНЫЙ

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts


xn yn		xn		yn	E			E E при всех n N .

Следовательно, xn yn бесконечно большая последовательность.

4.12. ЧИСЛО e

Имеет место формула, называемая биномом Ньютона:

a b n an nan 1b

n n 1

an 2b2 ...

1 2

n n 1...n k 1

an kbk ...

n n 1...n n 1

bn .

1 2 ... k

1 2 ... n

Легко проверить справедливость формулы при

n 1,2,3,4.

Действительно,

a b 1 a 1a1 1b a b;

a b 2 a2 2ab

2 2 1

b2 a2 2ab b2 ;

1 2

a b 3 a3 3a2b

3 2

ab2

3 2 1

b3 a3 3a2b 3ab2 b3 ;

1 2

1 2 3

a b 4 a4 4a3b

4 3

a2b2

4 3 2

ab3

4 3 2 1

1 2

1 2 3

1 2 3 4

a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4 .

Рассмотрим числовую последовательность

где

n 1,2,3,... Заметим, что x1 2; x2

2,25; x3 2,44...

Теорема. Числовая последовательность xn

при неограни-

ченном возрастании n имеет предел, заключенный между 2 и 3. Доказательство. По формуле бинома Ньютона представим общий член

последовательности xn в виде

xn	1 n	1	n n	1	1	...	n n 1 n n 1	1
		n	1 2		n2		1 2 ... n	nn

или

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

xn				1			1		1			1								2										1									1			2		n 1
	1 1					1				1				1									...										1							1			... 1		. (4.1)
	1 1					1				1		n		1									...								n!		1						n	1			... 1	n	. (4.1)
				2!			n		3!			n								n											n!								n			n		n
		Если рассмотреть член										xn 1, т.е. увеличить n																												на единицу, то добавится
положительное слагаемое с номером																									n 2												и каждый множитель									вида
		с																c																								что xn 1		xn	n.
1			заменится большим									1											. Отсюда следует,																			что xn 1		xn	n.
		n			xn												n 1
		Итак,			xn			возрастающая													последовательность.																					Покажем,			что	она
																																								с
ограничена.						Заменим			каждую скобку																		вида								1						1 в равенстве					(4.1)
ограничена.						Заменим			каждую скобку																		вида								1						1 в равенстве					(4.1)
единицей. Получим																																								n
единицей. Получим
												x			2							1				1			...							1		.								(4.2)
												x			2														...									.								(4.2)
													n						2!					3!												n!
																			2!					3!												n!
		Замечая, что
																1					1							1				;
																																;
																3!					2 3						22
															1				1											1			;
																			2 3 4														;
															4!				2 3 4											23

											1								1														1				,
																																2n 1					,
											n! 2 3 4 ... n																					2n 1
неравенство (4.2) перепишем в виде
										xn 2									1					1			...								1					.						(4.3)
										xn 2														22			...							2n 1						.						(4.3)
																			2					22										2n 1

Подчеркнутые слагаемые неравенства (4.3) образуют геометрическую прогрессию, сумма которой не превосходит единицы. Действительно.

a	1		1	,	q	1	; S	n	a1 1 qn	1	1	1.
									1 q		2n
		2			2

Неравенство (4.3) усилится, если заменить подчеркнутую сумму единицей. Итак, xn 3.

		1	n
		1
Так как последовательность xn	1			возрастающая и ограни-
Так как последовательность xn	1			возрастающая и ограни-
		n

ченная, то по теореме 6 раздела 4.10 она имеет предел. Из доказательства теоремы следует, что этот предел заключен между 2 и 3.

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

		1	n
		1
Определение. Предел числовой последовательности xn	1
Определение. Предел числовой последовательности xn	1
		n

при неограниченном возрастании n называется числом e. Итак,

	1	n	е.	(4.4)
lim 1

n	n

Число e иррациональное. Можно показать, что e = 2,718281828459…

4.13. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Пусть функция f (x) определена в некоторой окрестности точки x x0 ,

за исключением, быть может, самой точки x x0 .

Возьмем в области определения функции последовательность точек,

отличных от точки x x0 ,
x1 ,x2 ,x3 ,...,xn ...,	(4.5)

сходящуюся к х0. Значения функции в точках этой последовательности также образуют последовательность

f x1 , f x2 , f x3 ,..., f xn ... ,

(4.6)

и можно ставить вопрос о ее сходимости, т.е. о существовании ее предела. Определение 1. Число A называется пределом функции f (x) в точке

x x0 (или при x x0 ), если для любой сходящейся к x0 последовательно-

сти (4.5) значений аргумента			x , отличных от x0 , соответствующая последо-
вательность (4.6) значений функции сходится к числу A.
Символически это записывается в виде lim f (x) A.
						x x0
			f x в точке			x x0
Замечание 1. Функция						x0 может иметь только один пре-
дел, что следует из единственности предела последовательности f xn .
Пример 4.6. Найти предел функции						f x		x2 1	при х → 1, т.е. х0 = 1.

								x 1
Решение. Для	x 1		f x	x2 1	x 1			, а так как по определению

предела при x 1				x 1
	не принимается во внимание значение функции в точке
x0 1, то
	lim	x2 1	lim x 1 lim x					1 2 .

	x 1 x 1		x 1			x 1	n
24

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

Определение 2. Число A1 ( A2 ) называется левосторонним (правосто-

ронним) пределом функции f (x) в точке x x0 , если для любой сходящейся к x0 последовательности (4.5) значений аргумента, элементы которой xn

меньше (больше) x0 , соответствующая последовательность (4.6) значений функции сходится к числу A1 (или A2 ).

Символическая запись

lim f x	lim	f x A ,	lim f x	lim	f x A .
x x0	x x0 0	1	x x0	x x0 0	2
x x0			x x0

Левосторонний и правосторонний пределы функции f (x) при x x0 обозначаются соответственно f x0 0 и f x0 0 .

Замечание 2. Для существования предела функции в точке x0 необходимо и достаточно существование и равенство односторонних пределов, т.е.

lim	f x	lim f x A .
x x0 0		x x0 0
Определение 3. Число	A называется пределом функции f (x) при

x , если для любой бесконечно большой последовательности (4.5) значений аргумента x, соответствующая последовательность (4.6) значений функции сходится к числу A.

Символическая запись lim f (x) A.

Определение 4. Число A1 ( A2 ) называется пределом функции f (x) при x ( x ), если для любой бесконечно большой последовательно-

сти (4.5) значений аргумента x , элементы которой xn положительны (отрицательны), соответствующая последовательность (4.6) значений функции

сходится к числу A1( A2 ).	f (x) A ;		f (x) A .
Символическая запись lim	f (x) A ;	lim	f (x) A .
x	1	x	2

4.14. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ ФУНКЦИЙ

Определение предела функции на «языке последовательностей» дает возможность перенести доказанные ранее теоремы о пределах числовых последовательностей на функции. Покажем это на примере следующих теорем.

Теорема 1. Пусть функции f x и	g x имеют в точке x x0 пределы
A и B соответственно. Тогда функции	f x g x , f x g x и f x / g x

при	B 0 имеют в точке	x x0 пределы, равные соответственно (А + В),
A	B и A/B .

Доказательство. Пусть xn ( xn 0 ) – произвольная последователь-

ность значений аргумента функций f x и g x , сходящихся к числу x0 . Со-

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

ответствующие последовательности f xn и g xn значений этих функций

имеют пределы

A и B. В силу теорем 7-9 раздела 4.10 последовательности

f xn g xn ,

f xn g xn

f xn /g xn (при B 0)

имеют пределы,

равные соответственно A B , A B и A/B .

По определению предела функции можно записать

lim f x g x A B lim

f x lim

g x ;

x x0

lim (f x g x ) A B

lim

f x lim

g x ;

x x0

f x

lim f x

lim

x x0

(при B 0).

lim g x

x x0

g x

x x0

Теорема 2. Пусть: 1) функции

f x , g x и r x

определены в некото-

рой окрестности точки x0 , за исключением, быть может, самой точки x0 ;

2) функции f x

и g x

имеют в точке x0 предел,

равный A, т.е.

lim f x A ,

lim g x A ; 3)

выполняются неравенства

f x r x g x .

x x0

Тогда lim r x A.

x x0

Пусть xn

Доказательство.

( xn 0)

– произвольная последователь-

ность значений аргумента функций

f x

g x , сходящаяся к x0 . Соответ-

ствующие последовательности

f xn

g xn значений

этих функций

имеют предел, равный A , т.е.

f xn A

и g xn A при

n .

Используя условие 3 теоремы, можно записать f xn r xn g xn . От-

сюда по теореме 5 раздела 4.10 следует, что r xn A при n .

Согласно определению предела имеем lim r x A .

x x0

Замечание. Теоремы 1 и 2 верны также при х → ∞, х → –∞ или х → +∞

4.15. БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ФУНКЦИИ

Определение 1. Функция α x называется бесконечно малой функцией

(или просто бесконечно малой) в точке x x0 (или при x x0 ), если для любой сходящейся к x0 последовательности xn значений аргумента x ,

отличных от x0 , соответствующая последовательность α xn значений функции является бесконечно малой.

В соответствии с замечанием 3 раздела 4.9 можно записать

lim α x 0.

x x0

Источник: https://studfile.net/preview/16405315/

Смотрите также:

_04_Mериме
'Славная революция' в Англии и её последствия
0002d82e-42262f6d
00511
00598
02-20-GP-DNA-tech2-ГМО
03-20-GP-SequencingHumanGenome
03. Объектно ориентированное моделирование
04 Расстройства кровообращения (полнокровие, кровотечение, кровоизлияние, стаз)
06.билет 6 Давыдова