Материал: 1715

1

И

-4

X

Рис. 2.6. Плоская фигура, ограниченная линиями

б

y = x2

+

4x ; Дx − y + 4 = 0

и

А= 1. Площадь фигуры определяем по

Откуда находим x = −4 ; x

2

формуле (2.10)

1

1

1

[(x + 4)

− (x2 + 4x)]dx =

1

− 3x − x2 )dx

3x

2

x

3

S =

∫

∫

(4

= 4x −

−

=

2

−4

3

1

64

−4

125

3

−4

−

−16 − 24

+

=

(кв. ед.).

= 4 −

2

3

−

3

6

С

4) При изменении x от 0 до 6π параметр t изменяется от 0 до 2π

′

3(1− cos t) и по формуле (2.11) получаем

(рис. 2.7). Находим x(t) =

2π

2π

(1− cost)2 dt =

2π

2cost + cos2 t)dt =

S =

∫

3(1− cost)3(1− cost)dt = 9

∫

9

∫ (1−

0

0

0

2π

= 9

2π

1+ cos 2t

3

t − 2sin t +

sin 2t

∫

1− 2cos t +

2

dt =

9

2

4

= 27π (кв.ед.).

0

0

искомой площади (рис. 2.8).

π

Д

Рис. 2.8. Лемниската

По формуле (2.12) находим

И

1 π

/ 4

π / 4

S = 4

∫ cos 2ϕ dϕ

= sin 2ϕ

= 1 (кв.ед.).

2

б

0

0

и

Задач

для самостоятельнойА

работы

С

Найти площади ф гур, ограниченных линиями:

148.

y = −4x ; x = −3;

x = −1; y = 0 .

149.

2x − y + 3 = 0;

x = 0;

y = 0 ; x = 4.

150.

y = e−2x ; x = −

1 ;

x = 1; y = 0 .

2

151.

y = arcsin x ; y = π / 4 ;

y = π / 3;

x = 0.

152.

y = 2x ;

y = 5x ; x = 2;

x = 6 .

153.

y = 3 ;

x + y − 4 = 0.

x

154.

y = 8x − x2 ; y = x2 +18x −12.

155.

y = 6x2 ; y = 2x3 .

b

1+ f ′2 (x)dx .

l = ∫

(2.13)

В том случае,

a

кривая заданаИпараметрическими

когда

x = x(t);

[ x(t) и

y(t) − непрерывно дифференцируемые

уравнениями

y = y(t)

Д

функции], то длина дуги кривой, соответствующей монотонному

изменению параметра t

от α

доАβ , вычисляется по формуле

б′

′

С

β

l =

∫ x

2

(t)+ y

2

(t)dt .

(2.14)

α

Если кривая заданаив полярных координатах r = r(ϕ),

то длина

угла от ϕ1

до ϕ2 , находится по формуле

ϕ2

l

r2 + r′2 dϕ .

(2.15)

= ∫

ϕ1

Примеры решения задач

Найти длину дуги кривой:

1)

y = ex / 2 + e− x / 2 ; 0 ≤ x ≤ 2;

2)

x = 3(t − sin t);

0 ≤ t ≤ π

;

− cost),

y = 3(1

3)

r = a(1+ cosϕ).

1

x / 2

− x / 2

Решение: 1) Производная функции

y : y′ = 2

(e

− e

), откуда

ex + 2 + e− x

ex / 2

+ e− x / 2

1

x

− x

1+ f

′2

(x) =

1

(e

− 2 + e

) =

+ 4

4

=

2

и, следовательно, по формуле (2.13) имеем

2

x / 2

−x / 2

dx = (ex / 2 − e− x / 2 )

2

l = ∫ e

+ e

= e −

1

(ед.).

0

2

0

e

′

′

3sin t , то

2) Так как x (t) = 3(1− cos t) ; y

(t) =

π

t

t

π

π

И

l = 6

∫ sin

dt

= −12cos

= −12cos

+12cos 0 = 12

(ед.).

2

2

2

0

0

3) Кардиоида симметрична относительно полярной оси. Изменяя

полярный угол от 0 до

Д

π , получим половину длины кардиоиды. Так

′

как r

= asinϕ , следовательно, по формуле (2.15)

l = 2

∫

[a(1+ cosϕ)]2 + [asinϕ]2 dϕ = 2a∫

2(1+ cosϕ)dϕ = 4a∫ cos ϕ dϕ =

π

π

π

2

0

π

б

0

0

= 8a sin

ϕ

= 8a sin

π

− 8asin 0 = 8a.

и

А

2

0

2

Сπ

π

Задачи для самостоятельной работы

Вычислить длины дуг кривых:

161.

y2 = x3 ; 0 ≤ x ≤ 5.

162.

y = ln sin x ;

3 ≤ x ≤ 2 .

163. 2y = x2 − 3 между точками пересечения с осью ОХ.

= t

3

− t;

164.

x

1 ≤ t ≤ 4.

3

2

+ 2.

y = t

= t

6

6;

165.

x

между точками пересечения с осями координат.

4

− t

4

y = 2

формулам

= π b∫ f 2 (x)dx ;

V

(2.16)

OX

a

b

И

VOY

= 2π

∫ xf (x)dx.

(2.17)

a

Д

Примеры решения задач

xy = 4 , прямыми x = 3; x = 12 и осью абсцисс.

Решение: Пользуясь формулой (2.16), находим

2

и

А12

12

4

12dx

1

1

1

VOX = π ∫

dx =

16π ∫

= −16π

= −16π

−

= 4π

(куб. ед.).

С

2

3 x

3 xбx 3

12

3

2) Вычислить

объём

тела, которое получается

при

вращении

y = x2 , прямыми x = 0;

x = 2 и осью абсцисс.

Решение: По формуле (2.17) получим

2

2

x4

2

VOY = 2π ∫ x x2dx = 2π ∫ x3dx = 2π

= 8π

(куб. ед.).

4

0

0

0

168. y = sin x , 0 ≤ x ≤ π .

169. y = x3 − 4x , y = 0.