Материал: 1715
170. x2 − y2 = 1, x = 3. |
171. y2 = 4x , y = x . |
172. y = x2 , y2 = 8x.
Вычислить объёмы тел, образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций вокруг оси ОУ:
173. |
|
y = sin x , 0 ≤ x ≤ π , |
y = 0. |
|
|
174. |
y2 = x3 , |
x = 1, |
y = 0 . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
175. |
|
y = ex , |
y = 0 , x = 0, x = 1. |
|
|
176. |
y2 = 4x , |
x = 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Площадь поверхности вращения |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси ОХ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
дуги кривой |
|
y = f (x) между точками |
|
x = a |
и |
x = b, |
находится по |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2π b∫ f (x) |
|
|
|
|
|
|
И |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
SOX |
|
1+ f ′2 (x) |
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.18) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
a |
|
|
|
|
Д1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Примеры решения задач |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
Найти |
площадь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
′ |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
оси |
ОХ дуги |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
поверхности |
|
вращения |
вокруг |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
кубической параболы y |
= x |
|
при 0 ≤ x ≤ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
OX |
Решение: |
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
y = 3x |
|
. |
Следовательно, |
по |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Дифференц руя, имеем |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
формуле (2.18) наход м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1/ 2 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
1/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π 1/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
π |
|
|
4 |
|
3 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||
S |
|
|
= 2π ∫ x |
1 |
+ 9x |
dx = |
|
|
|
|
∫ 1+ 9x |
d(1+ 9x |
) = |
|
|
(1+ 9x |
) |
|
|
= |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
С |
|
18 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
125 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
π |
|
|
|
|
|
61π |
|
(кв.ед.). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
= |
|
|
|
|
− |
1 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
64 |
1728 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Задачи для самостоятельной работы
Вычислить площади поверхностей, образованных вращением вокруг оси ОХ дуг кривых:
177.y2 = 4ax , 0 ≤ x ≤ 8.
178.y = 3x , 1 ≤ x ≤ 3.
179.Одной волны косинусоиды y = cos x .
180.y2 = 3 + x , отсечённой прямой x = 3.
46
2.2.2. Физические приложения определенного интеграла
Масса стержня
Пусть ρ(x) − линейная плотность неоднородного стержня, расположенного на отрезке [a b;] оси OX. Рассмотрим произвольное
разбиение отрезка [a b;] на |
частичные отрезки |
[xi −1, xi ], |
длины |
||
∆xi = xi − xi−1 , |
i = 1, 2, , n . |
Внутри |
каждого частичного |
отрезка |
|
выберем произвольную точку εi |
и составим |
сумму по всем |
|||
частичным отрезкам |
n |
|
|
|
|
|
mn |
|
|
|
|
|
= ∑ ρ(εi )∆xi . |
|
|
||
|
|
i=1 |
И |
|
|
Так как эта сумма, являющаяся интегральной суммой для |
|||||
функции ρ(x) |
на отрезке [a b;], дает приближенное значение массы |
||||
стержня, то точное значение этой массы будет равно пределу суммы
n |
ρ(εi )∆xi |
при стремлении к нулю наибольшей длины частичных |
||||||||||
m = ∑ |
||||||||||||
i=1 |
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
отрезков, то есть будет равно интегралу |
|
b |
|
|
||||||||
|
m = |
|
|
m |
б |
n |
|
ρ(x)dx . |
(2.19) |
|||
|
lim |
= |
|
lim |
∑Дρ(ε )∆x = |
∫ |
||||||
|
|
|
n |
|
|
i i |
|
|
||||
|
|
max ∆xi →0 |
|
|
max ∆xi →0 i =1 |
|
a |
|
|
|||
|
|
n→∞ |
и |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
||
|
Работа при протекании различных процессов |
|
||||||||||
1. |
С |
|
|
силы по |
перемещению материальной |
|||||||
Работа |
переменной |
|
||||||||||
точки. Рассмотрим прямолинейное движение тела вдоль оси ОХ. Пусть сила F, действующая на тело, также направлена вдоль оси ОХ. Тогда работа А, совершенная силой F, определяется как произведение силы F на пройденный телом путь l=b−a, где а – начальное
положение тела; b – его конечное положение, т.е. |
|
А=F·l=F·(b−a). |
(2.20) |
Формула (2.20) имеет место лишь в том случае, |
когда сила |
постоянна. Однако на практике чаще приходится иметь дело с переменной силой. Поскольку сила на протяжении всего процесса перемещения тела меняется, весь процесс перемещения необходимо разбить на ряд отдельных этапов так, чтобы на протяжении каждого отдельного этапа силу можно было считать постоянной. А это в свою
47
очередь будет выполняться, если каждому этапу отвечает малое приращение времени или пути.
В этом случае, используя метод интегральных сумм, разбиваем
весь путь |
на малые |
интервалы |
∆ xi = xi − xi −1, i = 1,2,3,...n, |
и |
суммируем |
выражения |
F(εi ) ∆xi |
(εi [xi −1; xi ]), получаемые |
в |
предположении, что на рассматриваемом малом интервале ∆xi сила не меняется. В результате мы приходим к «интегральной сумме»
n
∑ F(εi )∆xi , в которой для получения выражения для проделанной
i=1
работы А необходимо перейти к пределу, считая все отрезки ∆xi
неограниченно убывающими. Этот предел равен интегралу |
b |
F(x)dx , |
||
∫ |
||||
который дает точное значение работы А: |
|
a |
|
|
|
|
|
||
b |
|
|
|
|
A = ∫ |
F(x)dx . |
|
|
(2.21) |
a |
|
|
|
|
Рассмотрим несколько вариантов применения данного подхода к |
||||
нахождению работы. |
|
И |
|
|
2. Пусть движение тела задается функцией x=x(t). Перемещение |
||||
dx тела за малое время равно произведению (мгновенной) скорости ϑ |
|||||
на время dt: |
|
|
|
Д |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
(2.22) |
|
|
dx = ϑ Аdt = dt . |
||||
|
|
|
|
dt |
|
Поэтому выражен е для работы (2.21) можно переписать так: |
|||||
|
б |
= t2 F ϑ dt , |
|
||
|
A = t2 F dx dt |
(2.23) |
|||
|
∫ |
|
|
∫ |
|
|
и |
dt |
t1 |
|
|
|
t1 |
|
|
||
где t = t1; t = t2 отвечают времени начала и конца движения. |
|||||
3. ПроизведениеСF ϑ , |
которое входит в формулу |
(2.23), есть |
|||
работа, отнесенная к единице времени (мощность). Действительно, в |
|||||
случае постоянных скорости и силы путь равен x = ϑ t , |
тогда работа |
||||
равна A = Fx = F ϑ t и отношение работы к протекшему времени (то есть работа, произведенная в единицу времени, или мощность) есть
А |
= F ϑ . Обозначая мощность |
А |
через W, можно написать |
|
t |
t |
|
||
|
|
|
||
|
|
t2 |
Wdt . |
(2.24) |
|
A = ∫ |
|||
|
|
t1 |
|
|
48
4. В термодинамике состояние газов описывается параметрами: давлением Р объемом V, температурой T. В общем случае любые два термодинамических параметра из трех могут изменяться произвольно (независимо). Однако наибольший практический интерес при изучении тепловых машин представляют некоторые частные случаи,
ккоторым относятся:
−изохорный процесс, протекающий без изменения объема
рабочего тела (dV = 0 или V = const );
−изобарный процесс, протекающий при постоянном давлении
( dP = 0 или P = const );
−изотермический процесс, протекающий при постоянной
температуре ( dT = 0 или T = const );
−адиабатный процесс, протекающий без теплообмена рабочего тела с окружающей средой (dQ = 0, Q – количествоИтеплоты);
−политропный процесс, который при определенных условиях может рассматриваться в качестве обобщающегоД по отношению ко всем предыдущим термодинамическим процессам.
При изучении термодинамических процессов идеальных газов решаются две основные задачи:Аб
А |
и |
∆U |
− изменение |
внутренней энергии |
– работа системы, Дж; |
||||
|
С |
|
|
|
системы, Дж), зап санное при соблюдении условий, присущих |
||||
рассматриваемому процессу. |
|
|
|
|
|
2. Выявить особенности |
преобразования |
подведенного к |
|
рабочему телу количества теплоты и его распределение между изменением внутренней энергии и работой, совершаемой рабочим телом.
Рассмотрим изохорный, изобарный, изотермический процессы и
найдем для каждого из них работу газа, используя определенный интеграл.
Из термодинамики известно, что работа над газом (отрицательная работа) выполняется внешними силами при его сжатии. Работа самого газа (положительная работа) выполняется при его расширении. Сила, возникающая от давления газа, выполняет работу только в процессе изменения объема газа.
49
Величина работы газа по аналогии с нахождением механической работы переменной силы равна площади фигуры под графиком на диаграмме P −V для каждого из процессов и считается по формуле, являющейся общей для всех термодинамических процессов:
|
V |
|
А = |
∫2P dV . |
(2.25) |
|
V1 |
|
А. Изохорный процесс. При изохорном процессе выполняется условие V = const или dV = 0. Этот процесс описывается законом
Шарля TP = const [Жак Александр Сезар Шарль (1746−1823) − французский изобретатель и ученый]. График изохорного процесса в
координатах P −V |
изображен на рис. 2.9, а. Очевидно, что работа |
|||||
|
|
|
|
|
И |
|
расширения газа в этом процессе равна нулю [по формуле (2.25) с |
||||||
учетом того, что V1 = V2 = V = const или dV = 0]. |
|
|||||
|
|
|
|
Д |
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
б |
|
а |
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.9. Изохорный процесс:
а − в P −V координатах; б − схема распределения теплоты
Подобный процесс может совершаться рабочим телом (газом), находящимся в цилиндре при неподвижном поршне, если к рабочему телу подводится теплота от источника тепла I или отводится теплота к холодильнику II (см. рис. 2.9, а).
Отметим, что при изохорном процессе вся теплота, подводимая или отводимая от рабочего тела, расходуется на изменение внутренней энергии (схема на рис. 2.9, б).
50