Материал: 1715

Y

y=f(x)

А

И

О

б

Дx=b

X

x=a

Рис. 2.1. Криволинейная трапеция

Используя

и

докажем, что

площадь

метод

нтегральных сумм,

С

,

ограниченной

непрерывной

кривой

криволинейной

трапец

i = 1,2,..., n . ∆x

= x − x− длина i -го частичного отрезка (рис. 2.2).

i

i

i −1

[xi −1; xi ],

i = 1,2,...n,

2. Внутри

каждого

частичного

отрезка

произвольным образом выбираем точку сi .

3. Находим значение определяемой функции f (x) в точке сi , то

есть значение

f (сi ) (из т. сi проводим прямую, параллельную оси

ОY, до пересечения

с

графиком

функции

y = f (x);

ордината

произведений вида

Si = f (ci ) ∆xi , выражающих площадь

прямоугольников с основанием ∆xi и высотой hi = f (ci ).

Y

y=f(x)

И

h1=f(c1)

Д

1

А

h

c

1

c2

ci-1

ci

ci+1

c

n

x0=a

и

=b

О

x1

x2

xi-1

x

i

xi+1

xn

X

С

Р с. 2.2.бПлощадь криволинейной трапеции

4. Составим сумму всех таких произведений (сумму площадей):

f (c1 )∆x1 + f (c2 )∆x2

n

n

+...+ f (cn )∆xn = ∑ f (ci ) ∆xi = ∑ Si = Sn .

Sn

i =1

i =1

Полученная

сумма

равна

площади

ступенчатой

фигуры

S = lim

Sn =

n

b

lim

∑ f (ci ) ∆xi =

∫ f (x)dx .

n→∞

max ∆xi →0 i =1

a

n→∞

Геометрический

смысл

определенного интеграла

b

f (x)dx от

∫

неотрицательной функции

y = f (x) ( f (x) ≥ 0

a

на отрезке [a b;])

S

b

f (x)dx.

(2.7)

= ∫

a

И

Если

f (x) ≤ 0 на отрезке [a,b], то

b

S = −∫

f (x)dx .

(2.8)

Д

a

Формулы (2.7) и (2.8) можно объединить в одну:

b

А

dx .

(2.9)

S = ∫

f (x)

a

Площадь фигуры, ограниченной двумя непрерывными кривыми

б

y1 = f1(x)

и

y2 = f2 (x)

и двумя

прямыми x = a и

x = b, где

и

f1(x) ≥ f2 (x)

на отрезке [a,b], находится по формуле (рис. 2.3)

С

S = b∫[f (x)− f (x)]dx .

(2.10)

1

2

a

b

О

X

x = x(t);

y(t) ≥ 0; α ≤ t ≤ β ,

y = y(t);

β

′

(2.11)

S = ∫ y(t)x (t)dt .

α

Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой r = r(ϕ )

и двумя

полярными

радиусами

ϕ = ϕ1

и

ϕ = ϕ2

(где ϕ1 ≤ ϕ2 ),

вычисляется по формуле

1 ϕ

И

(2.12)

Д

Вычислить

А

1) параболой y = x2 +1

, прямыми x = −1;

x = 2 и осью абсцисс;

2) ветвью

б

прямыми

x = −6 ;

x = −2 и осью

гиперболы

y = 1 ,

абсцисс

Си

x

y = 3(1− cost)

5) лемнискатой r =

.

cos 2ϕ

Решение: 1) На основании формулы (2.7) получим (рис. 2.4)

2

2

x3

2

8

1

S = ∫

(x

+1)dx =

+ x

=

+ 2

− −

−1 =

6 (кв. ед.).

3

3

3

−1

−1

И

Рис. 2.4. Плоская фигура, ограниченная линиями

Д

y = x2 +1; x = −1; x = 2; y = 0

А

1

2) На отрезке

[− 6,−2] функция

f (x) = x отрицательна (рис. 2.5).

Поэтому воспользуемся формулой (2.8):

−2

1 dx

б

S = − ∫

= [− ln

x

]−2 = −(ln 2

− ln 6)

= ln 3 (кв. ед.).

и

−6

−6 x

С