Материал: 2216

x sinx x dx Si x – интегральный синус.

0

Делим ряд для sin x на x, получим

ряд не сходится ни к какой элементарной функции, он является аналитическим заданием новой функции, но посредством не

x

конечного, а бесконечного числа операций. Функция sinx x dx

0

часто встречается при изучении некоторых разделов теоретической физики. С помощью приведенного ряда составлены все подробные таблицы.

2. При изучении теории вероятностей важную роль играет

интегралом вероятностей. Вычислить интеграл в конечном виде

,

сходится быстро.

1 2

dx

3. Вычислим интеграл .

0 1 x4

В принципе этот интеграл можно выразить в элементарных функциях:

Однако его выражение, как мы видим, сложно и мало удобно для вычислений.

В то же время, разложив подынтегральную функцию в ряд

II. Интегрирование дифференциальных уравнений

Пусть задано дифференциальное уравнение и начальные условия, определяющие частное решение. Допустим, что решение уравнения в окрестности точки x0, в которой заданы начальные условия, можно разложить в степенной ряд, расположенный по степеням разности x x0:

y a0 a1 x x0 a2 x x0 2 .

Продифференцируем этот ряд с неопределенными коэффициентами столько раз, каков порядок уравнения. Подставляя затем в уравнение вместо неизвестной функции и её производных соответствующие ряды, мы получим тождество, из

которого и определяем неизвестные коэффициенты ряда. При этом первые коэффициенты ряда (их число равно порядку уравнения) определяются из начальных условий. Если полученный ряд сходится, то он и выражает искомое решение. Достаточно большое число членов ряда дает нам как угодно хорошее приближенное выражение решения в виде многочлена. Особенно удобно решать с помощью рядов линейные дифференциальные уравнения.

Пример.

1. y xy 0 при y x 0 0; y x 0 1. Решение будем искать в

виде ряда, расположенного по степеням x:

y a0 a1x a2x2 anxn .

Коэффициенты a0 и a1 находим из начальных условий:

a0 y x 0 0; a1 y x 0 1.

y a1 2a2x nanxn 1 .

Дважды дифференцируем ряд:

С помощью признака Даламбера легко убедиться в том, что этот ряд сходится во всех точках числовой оси Ox и, следовательно, представляет искомое решение при всех x. Заметим, что порядок уравнения нисколько не влияет на метод решения его при помощи рядов.

2. y xy2 1 при y x 1 0. Это уравнение нелинейное, и

поэтому подстановка вместо функции y её разложения в ряд

y a0 a1 x 1 a2 x 1 2

привела бы к сложным уравнениям для определения коэффициентов.

Поэтому обычно поступают иначе. Продифференцируем уравнение несколько раз подряд:

III. Приближенное вычисление значений функций

Допустим, нам известны значения самой функции f x и её последовательных производных в некоторой точке x0 и мы доказали, что функция f x в окрестности точки x0 разлагается в ряд Тейлора.

Тогда точное значение функции f x в любой точке этой окрестности может быть вычислено по ряду Тейлора, а приближенное – по частичной сумме этого ряда. Оценка остатка позволяет определить требуемое число слагаемых, то есть степень многочлена Pn x f x Rn x . При этом необходимо иметь в виду следующие:

1. Если рассматриваемый ряд знакочередующийся и его члены по абсолютной величине убывают (т.е. удовлетворяют условиям

теоремы Лейбница), то остаток ряда имеет знак своего первого члена и по абсолютной величине меньше его.

2. В случае знакоположительного ряда дело обстоит сложнее. Здесь стараются подобрать другой положительный ряд с большими, чем у данного, членами, который бы легко суммировался, и в качестве оценки для остатка берут величину остатка нового ряда.

Примеры.

1

1.m2 , получим оценку

m 1

Лекция № 23. РЯДЫ ФУРЬЕ

Определение. Постановка задачи

Определение. Функциональный ряд

a0 a1 cos x b1 sin x a2 cos2x b2 sin2x 2

вида или, более сжато, ряд вида

a20 an cosnx bn sinnx

n 1

(1)

называется тригонометрическим рядом. Постоянные числа a0, an