Материал: Диффузия в кристаллических телах. Юрьев В.А., Юрьева М.В

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

ln I( ) 2 lnk , 4

где постоянная интегрирования k =I(0). Тогда

		2				2
I( ) I(0) e		4 или I( )		e 4 .

Возвращаясь к прежним переменным и общее уравнение диффузии в бесконечном стержне (1.26) запишется теперь как

(x )2

f ( ) e

c(x,t)

4Dt d

(1.27)

(x )2

Здесь функция

4Dt

обладает свойствами

функции Дирака, а уравнение (1.27) есть разложение функции координаты f ( ) по этим функциям.

Представленное решение описывает систему близкую к совершенно однородному распределению, когда выраженного источника диффузии практически нет.

1.4.2.2. Решение для бесконечно тонкого слоя

Рассмотрим ситуацию, когда источник диффузии чётко определён в пространстве. Остановимся на одномерном случае, т.е. представим бесконечно длинный пруток в середине которого расположен бесконечно тонкий источник диффундирующего вещества. Плоскость источника нормальна оси прутка. Система подвергнута диффузионному отжигу в течение времени t.

При условии независимости и постоянства коэффициента диффузии втрое уравнение Фика запишется в виде (1.19).

Принятая модель позволяет ввести следующие граничные условия

c 0 при x 0и t 0;

c при x 0и t 0;

Пространственно-временное распределение концентрации диффузанта в прутке, т.е. решение уравнения (1.19) будет иметь вид:

			x	2
			x		,	(1.28)

c(x,t)
c(x,t)		exp
	2 Dt		4Dt

где x– расстояние в любом направлении по нормали к исходной пленке растворенного вещества, а - полное количество диффузанта, которое можно определить по формуле

c x, t dx

1.4.2.3. Решение для пары полубесконечных твёрдых

тел

Рассмотрим систему, составленную из двух прутков разных веществ A и ,B которые состыкованы по плоскости нормальной оси прутков. Будем считать, что по разные стороны стыка прутки бесконечны. Ограничимся одномерной задачей диффузии вещества из левой части системы в правую. Для решения второго уравнения Фика (1.19) введём следующие граничные условия

c 0 при x 0,t 0; c c при x 0,t 0.

На рис. 1.1 представлен графический образ распределения концентрации в системе.

а) б)

Рис. 1.1. Графическое представление распределения растворённого вещества в начальный момент времени (а) и

после отжига (б)

Разобьем область x 0 на n участков толщиной . Будем считать, что каждый участок имеет единичную площадь. Каждый участок в момент времени t 0 содержит c растворенного вещества. Рассмотрим один из них. Если бы окружающие участки имели нулевую концентрацию, то распределение c(x,t) после диффузии совпадало бы с решением (1.28) для бесконечного тонкого слоя.

Тот факт, что в окружающих участках есть растворённое вещество, приводит к действительному решению представляющему собой суперпозицию распределений для каждого из участков. Пусть i – расстояние от центра i–го участка до x 0. Тогда концентрация в точке xв момент времени t определится как

	c		n		x i	2
c(x,t)			i	exp			. (1.29)
					4Dt
		Dt
2			i 1

На рис. 1.1 б показана сумма экспонент (1.29) дающая истинное распределение для случая относительно толстых участков . В пределе при n , толщины участков0 и сумма в уравнении (1.29) переходит в интеграл

(x )

c(x,t)

exp

d .

(1.30)

4Dt

Введём новую переменную

тогда уравнение

(1.30) примет вид

2 Dt

c(x,t)

exp 2

d .

(1.31)

Интегралы такого типа появляются всегда при анализе систем, где есть начальный источник растворенного вещества конечной толщины, а путь диффузии мал по сравнению с размерами системы. Интеграл нельзя просто вычислить, но его значения связаны с функцией ошибок

	2		z
erf (z)			exp( 2 )d .	(1.32)


		0

Значения этой функции для различных z сведены в таблицу, которая приведена в приложении 1. Основными свойствами функции ошибок, которыми мы воспользуемся, являются

erf ( ) 1

и erf ( z) erf (z) .

С учётом этого уравнение (1.31) можно записать как:

c(x,t)

1 erf

(1.33)

Каждое

значение соотношения

связано с

c/c

определенным

значением

Так,

z 1 всегда

соответствует отношению c

0,92, т.е. координата сечения,

концентрация в котором составляет 0,92c , дается

соотношением x 2Dt . Плоскость с любой постоянной концентрацией удаляется от плоскости x 0 со скоростью,

пропорциональной Dt . В плоскости x 0 для всех времён отжига, отличных от нуля, концентрация остаётся постоянной

равной		Этой	плоскости		отвечает		z 0	и	она
	c /2.
неподвижна.
1.4.2.4.		Бесконечная		система		с	постоянной
концентрацией на поверхности
Согласно		уравнению (1.33) концентрация в плоскости
x 0 для всех времён отжига остаётся						постоянной.			Это
позволяет использовать данное уравнения для области								x 0 в
случае,	когда	из	однородного		сплава		с начальной
концентрацией		растворенного		вещества c		происходит			его

дегазация так, что концентрация на поверхности для всех t 0 поддерживается постоянной равной c /2. Это можно выразить через следующие граничные условия:

c c при x 0,t 0; 2

c c при x 0,t 0.

В этом случае решение (1.33) является верным.

Если концентрация на поверхности вместо c /2 равна нулю для всех t 0, то решение принимает вид:

c(x,t)

erf

(1.34)

Если на поверхности образца, вначале свободного от

растворенного

вещества,

для

последующих всех

t 0,

поддерживается

постоянное

значение

концентрации c

, т.е.

Источник: https://studfile.net/preview/16565967/

Смотрите также:

17. Введение 18. Линейные программы 19. Ветвления 20. Программирование циклических алгоритмов
_-___-~1
_3 тема - Диффузия
_Роджерс Карл, Брак и его альтернативы
'Заповит' Рейнгольда Глиэра: стилистические особенности
'Создание и продвижение интернет - платформы реферальной системы' на примере компании Бартер–кард
«Теория человеческих потребностей Маслоу»
[БИЛЕТЫ] IMK №3
[ТЕСТЫ] ИМК №1 по физиологии (база 1 семестр и на экз)
[ТЕСТЫ] Спланхнология