Материал: Диффузия в кристаллических телах. Юрьев В.А., Юрьева М.В

Если исходная или поверхностная концентрация не равна нулю, то в любом из решений уравнений (1.33), (1.34) и (1.35) нулевую концентрацию можно заменить на c0 . Так если граничные условия:

c c0 при x 0,t 0; c c при x 0,t 0.

то решение (1.35) меняется на

1.4.2.5. Бесконечные системы и реальные объекты

В приведенных решениях постоянно присутствует термин «бесконечная или полубесконечная системы». Возникает вопрос имеют ли данные решения практическую значимость? Рассмотрим ещё раз задачу диффузии из бесконечно тонкого слоя в бесконечной системе.

Особенности решения (1.28) проанализируем с помощью графиков, представленных на рисунке 1.2.

На рис 1.2.а представлена зависимость концентрации от длины диффузионного пути. С увеличением времени диффузии ветви кривой c(x)распространяются вдоль осиx симметрично относительно координаты бесконечно тонкого слоя, из которого осуществляется транспорт диффузанта Если количество диффундирующего вещества остаётся постоянным, то площадь под кривой постоянна. Концентрация в точке x 0

21

x 2Dt .

c

На рис. 1.2.б представлена зависимость x от расстояния или ещё говорят от глубины диффузии. Согласно первому

c

уравнению Фика x пропорционально потоку через любое сечение, отвечающее данномуx. Видно, что при x 0 поток

равен нулю, следовательно, нет переноса вещества через x 0 из левой части образца в правую и наоборот. На бесконечностях поток так же равен нулю.

Рис. 1.2. Графическое представление решения (1.28)

На рис. 1.2 в величину отложена зависимость 2c от x.

x2

Эта величина пропорциональна скорости накопления растворенного вещества в окрестности любого сеченияx. Видно, что в окрестности сечения x 0 кривая вогнута книзу. Это означает, что из данного участка растворенное вещество уходит. Вогнутые кверху участки соответствуют накоплению диффузанта.

22

Ещё раз напомним, что формула (1.28) есть решение для «бесконечно тонкого слоя», находящегося посередине «бесконечной прямой». Поскольку бесконечности отсутствуют, то следует рассмотреть возможность практического использования данного решения. Если тонкая пленка находится в середине короткого ограниченного участка и вещество без потерь достигает его конца, то в процессе дальнейшего отжига оно должно вначале накапливаться на концах, а затем отражаться внутрь. Тогда значение концентрации растворенного вещества в этом районе должно быть больше по сравнению с тем, которое определяется уравнением (1.28). Таким образом, короткий отрезок можно считать бесконечным, если количество растворенного вещества, которое должно было бы отразиться или находиться вне его в действительно бесконечной полосе, составляет пренебрежительно малую долю от общего количества, растворенного вещества.

Положив 0,1% диффузанта достаточно малой долей, можно найти длину отрезка x , за пределами которого будет находиться эта малая доля

где числитель пропорционален количеству вещества, находящемуся далее x на бесконечной прямой, а знаменатель

– общему количеству. Числитель, по сути, является функцией ошибок.

Решение этого уравнения x 4Dt , т.е. величина x зависит от времени отжига t. Для достаточно короткого времени любой отрезок является «бесконечным». Длина Dt появляется во всех диффузионных задачах и «бесконечным»

23

объектом можно считать любой, превышающий по размерам,

несколько величин Dt .

Если нанести тонкий слой вещества на один конец образца и дать ему продиффундировать внутрь, то распределение концентрации растворенного вещества описывается уравнением (1.28) для области x 0.

Снимая тонкие слои параллельно исходной поверхности после серии отжигов и измеряя концентрацию диффузанта в каждом снятом слое, можно построить кривую в

вычислить величинуD.

Этот способ очень распространен и его часто применяют для всех наиболее точных определений Dатомов замещения.

Сделаем оценку величин из эксперимента, описанного типа. Для атомов замещения в металлах величина D вблизи солидуса составляет обычно 10-8 см2/сек: Чтобы аккуратно найти угол наклона зависимости lnc x2 , надо снять несколько слоев так, чтобы разбег по концентрациям составлял не менее одного порядка. Это значит, что слои надо

толщина слоя, который легко снять на токарном станке

24

Следовательно, выведенные ранее решения для бесконечных систем, вполне применимы для конечных объектов.

1.4.2.6. Диффузия из пластины

Приведенные выше решения относились к неограниченным системам.

Рассмотрим тип решений для ограниченных («маленьких») систем, которые близки к полной однородности. Представим решение второго уравнения Фика в виде произведения двух функции, одной, зависящей только от времени T(t), и другой, зависящей только от координаты

X(x) , т.е.

Следует заметить, что приведенное решение не удовлетворяют такому предположению, поскольку мы уже

показали, что они получены в форме c(x,t) f (x/ t). Решение такого уравнения уже было выполнено и оно

имеет вид (1.22):

c(x,t) (A sin x B cos x) exp( 2Dt)

Поскольку есть любое действительное число, то сумма решений (1.22) есть тоже решение, которое в наиболее общей форме представляет собой бесконечный ряд:

рассмотрим уход вещества через обе стороны пластинки толщиной h. В отличии от диффузии в бесконечном стержне в данном случае можно ввести граничные условия:

25