Материал: Диффузия в кристаллических телах. Юрьев В.А., Юрьева М.В

x h, необходимо приравнять нулю аргумент sin nx, где n -

любое целое число, большее нуля.

Коэффициенты An , удовлетворяющие этому уравнению

можно найти, умножив обе части уравнения (1.39) на sin p x h

и проинтегрировав его по xв пределах от 0 до h.

В бесконечном ряду интегралов справа все равны нулю, кроме n p . Этот интеграл равен h2. Теперь можно определить значения An , удовлетворяющие уравнению (1.40)

26

суммирования, так, чтобы только нечетные значения n давали вклад в сумму (1.39), получим:

В этой формуле каждый последующий член меньше предыдущего, причем уменьшение экспоненциально растет со временем. Поэтому уже для небольших времен достаточно ограничиться несколькими членами ряда и для любого момента, больше некоторого t , c(x,t) удовлетворительно описывается синусоидой. Чтобы оценить ошибку, которую мы допускаем, оставляя в c(x,t) после некоторого t только первый член, проще всего посмотреть соотношение максимальных значений первых двух членов. Это соотношение:

Для h 4Dt значение R будет приблизительно равно

150, так что для h2 16Dtошибка в представлении c(x,t) с помощью первого члена меньше 1% во всех точках.

Наиболее частым случаем применения решения этого типа является дегазации металлов. Определение концентрации на разной глубине бывает затруднительно, поэтому экспериментально меряют общее количество вещества, ушедшего или оставшегося в металле. Для этого нужно знать среднюю концентрацию c , которую можно определить из уравнения (1.43)

27

1 h

c(t) c(x,t)dx h 0

Отношение первых двух членов этого ряда в три раза больше, чем в уравнении (1.43), и для c 0,8c0 первый член является очень хорошим приближением. Для c /c0 0,8

решение (1.43) можно переписать в виде:

часто встречаются при описании систем, релаксирующих к состоянию равновесия. Величина есть мера скорости релаксации системы. Когда время отжига t , система проходит примерно две трети пути от исходного состояния к конечному. Следовательно, большие характеризуют медленные процессы.

1.5. Кинетика выделения

При рассмотрении таких процессов, как образование зоны Гинье-Престона в дуралюминах, выпадение вторичного и третичного цементита в системе Fe C и др. очень часто представляет интерес процессы, связанные с уходом растворённого вещества из пересыщенной матрицы. Именно они определяют зависимость от времени морфологии новых образований, их распределение по объёму образца и т.п., что можно определить просто как кинетика выделений.

28

В отличие, от ранее рассмотренных, это более сложная задача. Временную зависимость средней концентрации растворенного вещества в растворе c(t) можно экспериментально измерять несколькими способами. Тогда задачу можно свести к установлению связи между c(t) и формой частиц – зародышей, средним расстоянием между ними, коэффициентом диффузии или другими экспериментально определяемыми параметрами.

Задача сложна главным образом из-за большого числа частиц, а не из-за трудности описания процесса диффузии в окрестности каждой растущей частицы. Поэтому, нужно сделать упрощающие предположения, которые позволили бы решить задачу и в тоже время не исказили описываемую систему.

Поскольку выделяющиеся частицы распределены случайным образом, разумно предположить, что они образуют в объёме подобие гранецентрированной кубической структуры аналогично случайно разбрасываемым в замкнутом объёме шарам. Они практически всегда (при их большом количестве) укладываются именно так. Если при такой укладке провести плоскости посередине между всеми соседними частицами, то каждая частица окажется в отдельной ячейке, образованной этими плоскостями (рис. 1.3) для сечения вдоль плоскости (111)). Каждая из этих плоскостей является плоскостью зеркальной симметрии. Если читатель знаком с построением ячеек Виннера-Зейтца, то этот подход будет более понятен.

Рис. 1.3. Схема плоскости плотной упаковки.

29

Окружность – след эквивалентной сферы. Чёрные окружности – растущая фаза радиуса (t).

В отсутствие источников и стоков растворённого вещества в самой плоскости симметрии она может быть таковой при условии, что поток через неё отсутствует. Другими словами не должно быть суммарного потока внутрь или из любой ячейки. Тогда можно считать, что каждая ячейка имеет как бы непроницаемые для растворенного вещества стенки. Таким образом, задачу определения c(t) для системы удается свести к вычислению c(t) для одной ячейки.

Математическое описание можно еще более упростить, если принять форму ячейки сферической, того же объема. Обозначим через re - радиус такой эквивалентной сферы.

Рассмотрим начальный период выделения, когда размер растущей фазы, а, следовательно, и области, из которой осуществляется диффузионный поток к зародышу, мал по

сравнению с размерами эквивалентной сферы, т.е. re Dt .

Средняя концентрация растворённого вещества c в эквивалентной сфере уменьшается, когда оно покидает раствор и выделяется на поверхности зародыша. Количество вещества, уходящего из раствора в единицу времени, можно выразить двояко: как поток вещества к зародышу, умноженный на его поверхность, или как объем эквивалентной сферы, умноженный на скорость изменения c в ней. Если предположить, что зародыш представляет собой сферу радиуса, то можно составить следующее равенство:

30