Материал: Диффузия в кристаллических телах. Юрьев В.А., Юрьева М.В

аппроксимировать решением стационарного уравнения диффузии, отвечающего граничным условиям:

c c0 при r re; c c при r (t),

где c0 - исходная концентрация в матрице, а c -

концентрация в матрице, находящейся в равновесии с зародышем. Это стационарное решение справедливо для выделения, т.е. только при r .

Поскольку задача имеет сферическую симметрию, то второе уравнение Фика для стационарной задачи удобно записать в сферических координатах:

Теперь искомый поток J( ) можно определить из первого уравнения Фика, записанного в сферических координатах:

Подставляя его значение в уравнение (1.46) можно записать следующее кинетическое уравнение:

31

Здесь присутствует «неудобный» параметр (t). Для его определения выведем ещё одно кинетическое уравнение из баланса, растворенного вещества. Обозначим через cp -

концентрацию растворенного вещества внутри зародыша и предположим, что при t 0 зародыш отсутствует, т.е. 0. Тогда

4 cp 3(t) 4 re3 c0 c(t) . 3 3

Решая это уравнение относительно (t), получим

1

(t) re c0 c(t) 3 .cp

Подставляя этот результат в уравнение (1.47), получим следующее кинетическое уравнение:

Или, обозначив через b 3D(c10 c ) , получим вместо

cp3re2

уравнения (1.48) достаточно простое кинетическое уравнение

После интегрирования имеем

32

где - константа интегрирования, которая легко находится из начальных условий: при t 0;c0 c , так что

0. Поэтому

Следует заметить, что это решения справедливо для малых времён, когда размер зародыша мал по сравнению с

Рассмотрим некоторые свойства полученного решения. Для сферического зародыша разность c0 c пропорциональна

t3/2 . Это следует из того, что радиус участка, из которого зародыш выкачал растворённое вещество, пропорционален t3/2 . Уравнение (1.50) просто констатирует, что концентрация c равна c0 минус член, пропорциональный количеству

вещества, выделившемуся из раствора.

Если бы частицы выделений были бы очень длинными прутками фиксированной длинны, то их объём, или объём «иссушенной» зоны был бы пропорционален r2 , и последний член в уравнении (1.50) следовало бы заменить на t.

Если бы выделение происходило бы в виде плёнки, то объём «иссушенной» области рос бы, как t1/2 и формула для c приняла бы вид c c0 ( t)1/2 .

Таким образом, форму выделений можно определить по начальному наклону кривой в координатах ln(c c0) t.

33

При анализе экспериментальных данных уравнение (1.50) часто заменяют эквивалентным экспоненциальным выражением. Функцию exp( x) можно разложить в ряд

который сходится для всех x 1. Если x 1, первые члены (1 x) дают хорошее приближение. Сравнивая уравнения (1.50) и (1.51), для малых времён можно написать

где время релаксации дается следующим выражением:

Время релаксации можно определить из данных по c(t). Обычно величины cp , c0 , c и D известны из других

экспериментов. Поэтому можно вычислить re и затем

истинное расстояние между частицами. Если растет, то скорость выделения уменьшается; таким образом, уравнение (1.53) указывает на параметры, с помощью которых можно менять скорость выделения.

При больших временах отжига концентрация растворенного вещества на границе ячейки меняется со временем и наилучшее приближение дает первый член

34

1.6. Диффузия в поле упругих напряжений

Рассмотрим влияние градиента упругих напряжений на диффузию. Градиент потенциала создает поток атомов, который добавляется к концентрационному потоку в уравнении, где фигурирует полный поток.

Рассмотрим отдельную частицу, движущуюся в потенциальном поле U(x, y,z). Градиент потенциала есть сила

F , действующая на частицу:

Эмпирически установлено, что градиент потенциала или сила приводит к диффузионному перемещению атомов с некоторой скоростью, которая связана с силой следующим отношением:

где B - подвижность диффундирующего атома. Следует отметить, что в этом уравнение сила не равна массе, умноженной на ускорение. Здесь сила приводит к возникновению постоянной скорости вместо ускорения, так как атомы всё время меняют направлении е движения и поэтому не могут ускоряться под действием силы, как свободные частицы.

Подвижность атомов пропорциональна коэффициенту диффузии D. Далее будет показано, что соотношение между ними имеет вид:

35