Материал: Диффузия в кристаллических телах. Юрьев В.А., Юрьева М.В

же состава он может меняться в зависимости от времени, если меняется температура. Коэффициент диффузии может также зависеть от состава, а, следовательно, при наличии градиента концентрации, меняться от точки к точке по объёму образца.

В случае, если коэффициент диффузии D есть функция времени, а не координат, то второе уравнение Фика можно записать как

Это значит, что можно использовать все решения, применявшиеся для постоянного значения коэффициента диффузии, при этом заменив D(t) его средним значением

t

Это значение берётся обычно в диффузионных расчетах при введение поправок на нагрев до температуры отжига и последующего охлаждения или при использовании сложного цикла отжигов.

Рассмотрим одномерную задачу, в которой коэффициент диффузии есть функция координаты, т.е. D D(x). Второе уравнение Фика в этом случае имеет вид:

неоднородным, и получить его в замкнутом виде трудно, либо невозможно.

Предположим, что причиной диффузии является градиент концентрации c x. В этом случае зависимость от

41

координаты D D(x) однозначно связана с зависимостью от

этом случае уравнение (1.69) перейдёт в обычное однородное дифференциальное. Используя переменный параметр , получим:

полубесконечную диффузионную пару (см. раздел 1.4.2.3.), которая описывается следующими начальными условиями:

c c0 при x 0,t 0; c 0 при x 0,t 0;

Так как точка x 0 исключена из рассмотрения при t 0 и исходная концентрация не зависит от расстояния, то,

42

отбросить разрыв при x 0, начальное условие можно записать только через :

c c0 при ; c 0 при ;

Уравнение (1.70) содержит только полные дифференциалы, поэтому можно его сократить на 1 слева и

d

справа и проинтегрировать от c 0 до c c , где c - любая концентрация 0 c c0

Возвращаясь к прежним переменным можно записать

Последнее равенство в выражении (1.71) следует из того

в бесконечной системе, dc 0 как при c 0, так и при c c0 . dx

Следовательно,

Имеется в виду плоскость, разделяющая вещества A и B (см.

рис.1.1.) при t 0.

При таком условии, зависимость коэффициента диффузии от концентрации можно получить графическим интегрированием и дифференцированием c(x) с помощью

Экспериментальные данные по диффузии из одного вещества ( A) в другое (B) можно представить графически,

43

как показано на рисунке на рисунке 1.4. Точка x 0 (штриховая линия на рисунке) определяется в соответствии с уравнением (1.72) и называется поверхностью Матано. Эта линия, которая делит заштрихованную область на две равные по площади половины.

ошибки кривую зависимости концентрации от расстояния обычно строят по точкам методом наименьших квадратов – в результате она должна быть похожа на кривую, представленную на рис. 1.4.

Рис. 1.4. Поверхность Матано расположена так, чтобы заштрихованные участки слева и справа от нее были равны. Площадь, заштрихованная в клетку, и касательная – величины,

используемые для расчета D при c 0,2c0

44

1.8. Эффект Киркендалла

При расчете коэффициента диффузии в методе Больцмана – Матано по сути определяется коэффициент

~

взаимной диффузии D, который описывает процесс гомогенизации сплава. Это ставит новую задачу определения

~

связи между D и коэффициентами самодиффузии компонентов A и B при том же составе сплава.

~

На первый взгляд, кажется, что D является средним значением коэффициентов диффузии двух компонентов. Однако, если оба компонента диффундируют с различными скоростями, то необходимо ввести дополнительный параметр, определяющий эту разницу. Впервые этот параметр экспериментально определил Киркендалл. Он намотал на прямоугольный пруток латуни (сплав меди с цинком) молибденовую тонкую проволоку и затем нанёс на этот образец слой чистой меди. (рис. 1.5). Молибден практически нерастворим ни в меди, ни в латуни и поэтому никакого участия в диффузии не принимает. Таким образом, был изготовлен образец с неравновесной концентрацией цинка и начальными условиями, соответствующими системе пары полубесконечных тел.

Рис. 1.5. Сечение диффузионной пары в эксперименте Киркендалла

45