Документ: Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных. Дементьева А.М., Артыщенко С.В, страницы 46-50

f (x)	имеет место равенство ∫a f (x)dx = 0 ,			то есть определенный интеграл с
			a
одинаковыми пределами интегрирования равен нулю.
	Свойства 2.2 и 2.3 не противоречат определению определенного
интеграла. Действительно,			если a >b и по определению			x0 = a, , xn = b , то
все	∆xi < 0, т.к.	x0 > x1 >	> xn . Поэтому	любая	интегральная сумма для
∫b f (x)dx равна		некоторой интегральной		сумме	для	∫b f (x)dx , взятой с
a						a

противоположным знаком. А в свойстве 2.3 можно считать, что все ∆xi = 0 (i =1, ,n ), поэтому любая интегральная сумма равна 0.

Свойство 2.4. Для любого действительного числа m : ∫b mdx = m(b − a).

								a
Доказательство: Вычислим ∫b mdx (m = const) с помощью нахождения
предела интегральной суммы					a
предела интегральной суммы						n
b				n		n	n
∫	mdx	= lim		∑m∆xi = m lim		∑∆xi и т.к.	∑∆xi	равна длине отрезка
∫		max	∆xi →0	i=1	max ∆xi →0	=	i=1
a						i 1
	n
[a b;], т.е. ∑∆xi			= b − a , то свойство доказано.
	i=1
Свойство 2.5. Постоянный множитель можно выносить за знак
определенного интеграла: если A = const , то
					∫b Af (x)dx = A∫b f (x)dx .
					a	a
Доказательство. Используем определение определенного интеграла
как предела интегральной суммы:
	∫b	Af (x)dx = maxlim∆xi →0 ∑n			Af (ci )∆xi = Amaxlim∆xi →0		∑n f (ci )∆xi = A∫b f (x)dx .
	a			i=1			i=1	a

Свойство 2.6. Определенный интеграл от алгебраической суммы нескольких функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых.

Так, в случае двух слагаемых

∫b [f1 (x)+ f2 (x)]dx = ∫b		f1 (x)dx + ∫b f2 (x)dx .
a	a		a
Доказательство. По определению
∫b [f1 (x)+ f2 (x)]dx = maxlim∆xi →0			∑n [f1 (ci )+ f2 (ci )]∆xi =
a			i=1

46

= lim		∑n	f1 (ci )∆xi + ∑n	f2 (ci )∆xi	=
i	→0
max ∆x	→0	i=1	i=1
		i=1	i=1

lim		∑n f1 (ci )∆xi +	lim		∑n f2 (ci )∆xi =
max ∆x	→0	i=1	max ∆x	→0	i=1
i		i=1	i		i=1

= ∫b f1 (x)dx + ∫b f2 (x)dx .

aa

Доказательство проводится аналогично для любого конечного числа слагаемых.

Свойство 2.7. Для любых трех чисел a,b,c справедливо равенство:

∫b	f (x)dx = ∫c	f (x)dx + ∫b	f (x)dx ,	(2.6)
a	a	c

если только все три интеграла существуют.

Доказательство. Предположим сначала, что a <c <b, и составим интегральную сумму для функции f (x) на отрезке [а;b]. Так как предел

интегральной суммы не зависит от способа разбиения отрезка [а;b] на части, то мы будем разбивать отрезок [а;b] на малые отрезки так, чтобы точка с была одной из точек xi . Представим интегральную сумму, соответствующую отрезку [а;b], в виде суммы двух слагаемых, одно из которых соответствует отрезку [а;c], а второе соответствует отрезку [c;b].

	n	n1	n
Тогда ∑ f (ci )∆xi = ∑ f (ci )∆xi + ∑ f (ci )∆xi
	i=1	i=1	i=n1 +1
Переходя в последнем равенстве к				пределу	при	max ∆xi → 0, n → ∞,
получим формулу (2.6).						1≤i≤n
получим формулу (2.6).			вне отрезка [а;b], например
Если	точка	с лежит	вне отрезка [а;b], например			a <	b< c , то на
основании доказанного можем написать
∫с f (x)dx = ∫b		f (x)dx + ∫с	f (x)dx или ∫b	f (x)dx = ∫c	f (x)dx − ∫с		f (x)dx .
a	a	b	a	a		b

Из свойства 2.2 следует, что

∫с f (x)dx = − ∫b f (x)dx , поэтому ∫b f (x)dx = ∫c f (x)dx + ∫b f (x)dx .

b

c

a

c

y

y = f(x)

На рис.

2.3

дана

геометрическая

иллюстрация свойства 2.6 для случая,

когда

f (x)≥ 0

и

a <c <b: площадь

трапеции равна сумме площадей двух ее

частей.

f (x)≥ 0 на [а;b]

Свойство 2.8. Если

О

а

с

b х

( a <b), то

Рис. 2.3

47

∫b f (x)dx ≥ 0.

a

Доказательство. По определению

∫b f (x)dx =

a

limn ∑n f (ci )∆xi .

→x∞ i=1 max ∆ i →0

1≤i≤n

Интегральная сумма всегда неотрицательна,		т.к.	f (ci )≥ 0 и	∆xi > 0
(i =1, ,n ). По теореме о неотрицательности	предела		неотрицательной
величины получаем доказываемое неравенство.
Следствие 1. Если f (x)≤ 0 на [а;b] ( a <b), то ∫b		f (x)dx ≤ 0.
	a
Действительно, по свойству 2.4 имеем ∫b	f (x)dx = − ∫b (− f (x))dx			и т.к.
a			a

(− f (x))≥ 0 на [а;b], то получаем нужное неравенство.

Следствие 2. Если f1 (x)≤ f2 (x) на [а;b] и a <b, то

∫b f1 (x)dx ≤ ∫b f2 (x)dx .

aa

Из условия ( f1 (x)− f2 (x)) ≤ 0 на [а;b] и из следствия 2

∫b (f1 (x)− f2 (x))dx ≤ 0 ,

a

но по свойствам 2.4, 2.5

∫b (f1 (x)− f2 (x))dx = ∫b f1 (x)dx − ∫b f2 (x)dx ≤ 0 ,

a

откуда

∫b f1 (x)dx ≤ ∫b f2 (x)dx .

a	a
Свойство 2.9. Если a ≤ b и для a ≤ x ≤ b выполняется условие
	m ≤ f (x)≤ M ,	(2.7)
то	m(b − a)≤ ∫b f (x)dx ≤ M (b − a).
	m(b − a)≤ ∫b f (x)dx ≤ M (b − a).	(2.8)

a

Доказательство. Из условия (2.7) и доказанного выше следствия 2 вытекает, что

∫b mdx ≤ ∫b f (x)dx ≤ ∫b Mdx ,

a

а отсюда, с учетом свойства 2.4, следует (2.8).

Если в условии (2.7) m ≥ 0 , то неравенства (2.8) имеют простой геометрический смысл (рис. 2.4):

48

y

прямоугольник с основанием [а;b] и

высотой, равной m содержится в

y = f(x)

М

криволинейной трапеции, а она, в

свою

очередь,

содержится

в

прямоугольнике с тем же основанием

m

и высотой, равной M , поэтому их

площади

связаны

неравенствами,

О

а

Рис. 2.4

b х

соответствующими (2.8).

f (x)

Свойство 2.10

(теорема о

среднем значении). Если функция

непрерывна на отрезке [а;b], то на этом отрезке найдется такая точка с, что справедливо равенство

∫b	f (x)dx = f (c)(b − a).	(2.9)
a		а<b. Т.к. f (x)
Доказательство.	Пусть для определенности	а<b. Т.к. f (x)

непрерывна на [а;b], то она достигает на [а;b] наименьшего значения m и наибольшего значения M и поэтому f (x) удовлетворяет условию (2.7) на [а;b]. Значит, по свойству 2.9 выполнены неравенства (2.8), которые можно переписать в виде

			m ≤		1		∫b f (x)dx ≤ M .
			m ≤	b − a			∫b f (x)dx ≤ M .
				b − a			a
Из этих неравенств следует, что число µ [m; M ], где
			µ =		1			∫b f (x)dx .
			µ =					∫b f (x)dx .
						b − a a
Так		как f (x)	непрерывна на отрезке [а;b], то она принимает все
промежуточные значения, заключенные между m и M .									f (c)= µ , то есть
Следовательно,			при некотором значении c ( a ≤ c ≤ b )						f (c)= µ , то есть
1		∫b f (x)dx = f (c), что равносильно (2.9).
	b − a	∫b f (x)dx = f (c), что равносильно (2.9).
	b − a	a
		Свойство 2.11. Если f (x) - нечетная функция, то есть f (− x)= − f (x),
определенная на [− а;a], то
				∫a f (x)dx = 0.
				−a
		Иными словами: определенный интеграл от нечетной функции по
симметричному относительно нуля промежутку равен нулю.
		Если f (x)	- четная функция,			то есть f (− x)= f (x),			определенная на
[− а;a], то ∫a f (x)dx = 2∫a f (x)dx .
		−a	0

49

Например, ∫1 sin(x3 )dx = 0, т.к. функция y = sin(x3 ) нечетна.

−1

2.1.4. Интеграл с переменным верхним пределом

Пусть функция f (x) непрерывна в некотором интервале. Возьмем

фиксированную точку a из этого интервала. Тогда для любого x из данного интервала существует определенный интеграл

∫x	f (t)dt	(2.10)
a

(переменную интегрирования обозначим буквой t , чтобы не путать ее с верхним пределом). При изменении x интеграл (2.10) меняется, т.е. зависит от x . Иными словами, интеграл (2.10) – это функция верхнего предела x , заданная на рассматриваемом интервале, обозначим ее Φ(x):

Φ(x)= ∫x f (t)dt .

a

Интеграл (2.10) называют интегралом с переменным верхним пределом.
Справедлива следующая теорема.							f (x) в
Теорема. Функция Φ(x) является первообразной функции							f (x) в
расматриваемом интервале, то есть справедливо равенство
		Φ	(x)= f (x).			(2.11)
			′
Доказательство.		Найдем Φ (x) по		определению	производной.			Для
			′
этого дадим точке x		приращение ∆x , получим точку			x + ∆x .	Вычислим
приращение	функции	Φ(x),	равное	∆Φ = Φ(x + ∆x)−Φ(x).		Так		как
Φ(x)= ∫x f (t)dt , то Φ(x + ∆x)= x+∫∆xf (t)dt , поэтому
a			a
∆Φ = x+∫∆xf (t)dt − ∫x			первый интеграл представляем в виде				=
∆Φ = x+∫∆xf (t)dt − ∫x		f (t)dt =	первый интеграл представляем в виде				=
a	a		суммы двух интегралов по свойству 7

x	f (t)dt +	x+∆x			x	f (t)dt =	x+∆x
= ∫	f (t)dt +	∫	f (t)dt	−	∫	f (t)dt =	∫	f (t)dt =
a		x			a		a

по теореме о среднем значении,	c

учетом непрерывности функции	f (t)	=
для t [x; x + ∆x], существует точка
с [x; x + ∆x] такая, что

= f (c)((x + ∆x)− x)= f (c)∆x .

Теперь по определению производной

50

Материал: Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных. Дементьева А.М., Артыщенко С.В

2.1.4. Интеграл с переменным верхним пределом

Смотрите также: