Материал: Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных. Дементьева А.М., Артыщенко С.В
Пример 1.47. Найти интеграл ∫sin2 xcos2 xdx .
У тригонометрических функций, стоящих под знаком интеграла, степени четные. Понизим степени этих функций, используя формулы (1.19):
|
|
∫sin2 xcos2 xdx = ∫1 − cos2x |
1 + cos2x dx = |
1 |
∫(1 − cos2 2x)dx = |
|
|||||||||
|
2 |
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
cos 2x в четной степени, поэтому снова |
|
= |
1 |
∫sin |
2 |
2xdx = |
1 |
∫ |
1 |
− cos 4x |
dx = |
||
|
|
||||||||||||||
|
применим формулы (1.19), где α = 2х |
|
4 |
|
4 |
|
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=18 ∫(1 − cos4x)dx = 18 x − 321 sin 4x + C .
III.Рассмотрим в заключение интегралы вида
∫cosmxcosnxdx , ∫sin mxcosnxdx , ∫sin mxsin nxdx , m ≠ n , m,n R .
Используем формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму:
cosmxcosnx = 12 (cos(m + n)x + cos(m − n)x), sin mxcosnx = 12 (sin(m + n)x + sin(m − n)x),
sin mx sin nx = 12 (− cos(m + n)x + cos(m − n)x).
Тогда
∫cos mx cos nxdx = |
1 |
∫(cos(m + n)x + cos(m − n)x)dx = |
sin(m + n)x |
+ |
sin(m − n)x |
+ C . |
|||
2 |
2(m + n) |
|
2(m − n) |
|
|||||
Интегралы вида |
∫sin mxcosnxdx , |
∫sin mxsin nxdx могут |
быть |
найдены |
|||||
аналогично. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 1.48. Найти интеграл ∫sin 5x sin 3xdx .
Воспользовавшись последней из вышеприведенных формул, получим
∫sin 5x sin 3xdx = |
1 |
∫(− cos8x + cos 2x)dx = − |
sin 8x |
+ |
sin 2x |
+ C . |
2 |
16 |
4 |
1.10.«Неберущиеся» интегралы
Вп. 1.1 мы уже отмечали (без доказательства), что всякая непрерывная на интервале (а, b) функция f(x) имеет на этом интервале первообразную, т.е. существует такая функция F(x), что F′(x) = f(x). Однако даже у некоторых элементарных функций f(x) первообразные F(x) не являются элементарными функциями. Обычно неопределенные интегралы от таких функций f(x) называют неберущимися. К неберущимся относятся, например,
∫e−x2 dx , ∫sinx x dx , ∫cosx x dx , ∫
1 − k 2 sin2 xdx , k ≠ ±1, ∫lndxx .
41
ГЛАВА 2. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ И НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
2.1.Определенный интеграл
2.1.1.Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла Задача о площади криволинейной трапеции
|
|
|
Пусть на плоскости задана |
||||
|
|
прямоугольная |
xOy |
система |
|||
|
|
координат |
|
и |
|||
|
|
рассматривается |
|
|
фигура, |
||
|
|
ограниченная прямыми |
x = a , |
||||
|
|
x =b |
( a <b), |
осью |
Ox |
и |
|
|
|
графиком непрерывной на [a b;] |
|||||
|
|
функции y = f (x) |
( f (x)≥ 0 |
на |
|||
|
|
[a b;]), рис. 2.1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Эту фигуру будем называть |
||||
Рис. 2.1 |
криволинейной |
трапецией. |
Нас |
||||
интересует площадь |
S |
этой фигуры. Идея |
отыскания |
S |
следующая: |
||
построить фигуру, «близкую» к данной, причем такую, площадь которой мы умеем найти. Затем построить фигуру, еще более «близкую» к данной, и так далее. Получим последовательность площадей таких фигур и найдем предел этой последовательности, если он существует. Этот предел считают равным площади данной криволинейной трапеции. «Близкие» фигуры строят,
составленными из прямоугольников. |
Для этого |
разбивают отрезок [a b;] |
|||
|
произвольными |
|
точками |
||
|
x0 = a, x1 , , xn = b |
на |
n |
частей |
|
|
(рис. 2.1). Через эти точки |
||||
|
проводят прямые, |
параллельные |
|||
|
Oy . Фигура разбивается на n |
||||
|
полосок, каждую из которых |
||||
|
заменяют |
|
близким |
||
|
прямоугольником. Для этого на |
||||
|
каждом |
отрезке |
|
[xi−1 , xi ] |
|
|
(i =1, ,n ) разбиения |
|
отрезка |
||
Рис. 2.2 |
[a;b] выбирают |
произвольную |
|||
точку ci , вычисляют в этой точке |
значение |
функции |
f (ci ) |
и |
строят |
прямоугольник с основанием [xi−1 , xi ] и высотой, равной f (ci ) (см. рис. 2.2). Площадь Sn построенной фигуры равна сумме площадей прямоугольников, т.е.
Sn = f (c1 )(x1 − x0 )+ + f (cn )(xn − xn−1 ).
42
Введем обозначения:
x1 − x0 = ∆x1 , , xi − xi−1 = ∆xi , , xn − xn−1 = ∆xn ,
тогда Sn = f (c1 )∆x1 + + f (cn )∆xn .
Теперь используем знак суммирования конечного числа членов последовательности:
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
a1 + + an = ∑ai . |
|
|
|
|
Площадь Sn |
запишется в виде |
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Sn = ∑n |
f (ci )∆xi . |
|
|
(2.1) |
|
|
[a b;] |
i=1 |
|
|
|
|
Если разбиение отрезка |
сделать |
мельче, то |
найденная |
по |
такому |
||
разбиению |
площадь Sn |
будет |
ближе |
к искомой |
площади |
S , |
поэтому |
построим последовательность фигур, проводя неограниченное измельчение разбиения отрезка [a b;]. Это значит, что число n отрезков разбиения мы
устремим к бесконечности и при этом длины всех отрезков разбиения должны стремится к нулю. Записать это можно так: n → ∞, max ∆xi → 0 .
1≤i≤n
Предел последовательности Sn площадей этих фигур по определению будем считать равным площади S , т.е. с учетом (2.1)
S = |
lim |
∑n f (ci )∆xi . |
(2.2) |
|
n→∞ |
i=1 |
|
|
max ∆xi →0 |
|
|
|
1≤i≤n |
|
|
Задача о работе переменной силы |
|
||
Пусть под действием некоторой |
силы F материальная |
точка M |
|
движется по прямой Ox , причем направление силы совпадает с
направлением движения. |
Требуется найти работу, произведенную силой |
F |
|||||
при перемещении точки M из положения x = a в положение x = b . |
|
||||||
Если сила F постоянна, то работа A выражается произведением силы |
|||||||
F на длину пути, т.е. |
A = F(b − a). |
|
|
|
|||
Предположим, |
что |
сила F |
непрерывно меняется в зависимости |
от |
|||
положения материальной |
точки, |
т.е. |
представляет собой |
функцию F(x), |
|||
непрерывную на отрезке a ≤ x ≤ b . |
|
|
|
||||
Разобьем |
отрезок |
[a b;] |
на |
n произвольных |
частей точками |
||
x0 = a, x1 , , xn |
= b , выберем в каждой части [xi−1 , xi ] произвольную точку сi |
и |
|||||
вычислим значение силы F(ci ) в этой точке. Приближенно будем считать,
что на каждом отрезке разбиения действует постоянная сила, а именно: на [x0 , x1 ] - сила F(c1 ), на [x1 , x2 ] - сила F(c2 ) и т.д., и соответственно работа
данной силы F(x) на каждом участке [xi−1 , xi ] приближенно равна F(ci )(xi−1 − xi )= F(ci )∆xi . Очевидно, получаем приближенную формулу для
43
работы A, произведенную силой F(x) на всем отрезке [a b;]: |
|
A ≈ An = ∑n F(ci )∆xi . |
(2.3) |
i=1 |
|
Формула (2.3) тем точнее, чем мельче разбиение отрезка [a b;], поэтому неограниченно измельчают разбиение [a b;], т.е. n → ∞, max ∆xi → 0 , при
1≤i≤n
этом вычисляя для каждого разбиения приближенное значение An искомой
работы. В качестве искомой работы A берут предел, к которому стремится
An , т.е.
A = |
lim |
∑n F(ci )∆xi . |
(2.4) |
|
n→∞ |
i=1 |
|
|
max ∆xi →0 |
|
|
|
1≤i≤n |
|
|
Рассмотренные задачи привели к формулам (2.2) и (2.4), в которых для получения ответа проводится одинаковая процедура разбиения отрезка и вычисляются однотипные пределы. Можно привести примеры других геометрических и физических задач, в которых искомые величины ищутся таким же методом. Далее, отвлекаясь от конкретного содержания задачи, рассмотрим математическую задачу отыскания пределов, стоящих в правых частях формул (2.2) и (2.4).
2.1.2. Определение определенного интеграла
Пусть на отрезке [a b;] задана функция y = f (x). Разобьем отрезок произвольными точками x0 = a, x1 , , xn = b на n частей. Выберем на каждом отрезке разбиения [xi−1 , xi ] произвольную точку сi и вычислим в этой точке
значение функции f (ci ) (i =1, ,n ). Составим сумму |
|
Sn = ∑n f (ci )∆xi , |
(2.5) |
i=1 |
|
которую называют интегральной суммой для функции f (x) на [a b;].
Если провести процедуру неограниченного измельчения разбиения отрезка [a b;], т.е. n → ∞, max ∆xi → 0 и для каждого разбиения в этой
1≤i≤n
процедуре найти интегральную сумму (2.5), то получим последовательность {Sn } интегральных сумм.
|
Определение. Если существует lim Sn = |
lim |
∑n f (ci )∆xi , не зависящий |
||
|
|
|
n→∞ |
n→∞ |
|
|
|
|
max ∆xi →0 i=1 |
||
|
|
|
max ∆xi →0 |
1≤i≤n |
|
|
|
|
1≤i≤n |
|
|
|
|
|
|
|
|
от |
способа разбиения |
отрезка |
и выбора |
для |
каждого разбиения точек |
сi |
(i =1, ,n ), то этот |
предел |
называют |
определенным интегралом от |
|
функции f (x) на отрезке [a b;] и обозначают ∫b f (x)dx . Иными словами,
a
44
∫b f (x)dx =
a
lim |
∑n f (ci )∆xi . |
(2.6) |
n→∞ |
i=1 |
|
max ∆xi →0 |
|
|
1≤i≤n |
|
|
В обозначении определенного интеграла ∫ - знак интеграла, f (x) - подынтегральная функция, f (x)dx - подынтегральное выражение, [a b;] -
отрезок интегрирования, a и b - пределы интегрирования ( a - нижний предел, b - верхний предел) и x - переменная интегрирования. Если существует определенный интеграл от функции f (x) на [a b;], то эту
функцию называют интегрируемой на отрезке [a b;].
Теорема Коши. Если f (x) непрерывна на отрезке [a b;], то она
интегрируема на этом отрезке.
Из этой теоремы следует, что в формулах (2.2) и (2.4) пределы существуют и равны соответствующим определенным интегралам, поэтому эти формулы можно переписать в виде
S = ∫b f (x)dx |
(2.2') |
a |
|
и |
|
A = ∫b F(x)dx . |
(2.4') |
a |
|
Формула (2.2') говорит о геометрическом смысле определенного интеграла: определенный интеграл от неотрицательной непрерывной функции равен площади соответствующей криволинейной трапеции (см. рис. 2.1).
Чтобы научиться вычислять определенный интеграл, рассмотрим сначала его свойства, вытекающие из определения.
2.1.3. Свойства определенного интеграла
Ниже будем предполагать, что все определенные интегралы, о которых идет речь, существуют.
Свойство 2.1. Определенный интеграл зависит от вида подынтегральной функции и пределов интегрирования, но не от переменной интегрирования, которую можно обозначать любой буквой, т.е.
∫b f (x)dx = ∫b f (t)dt .
aa
Свойство 2.2. При введении понятия определенного интеграла
∫b f (x)dx мы предполагали, что a <b. В случае b<a примем по определению
a
∫b f (x)dx = − ∫a f (x)dx .
a |
b |
Свойство 2.3. В случае a = b полагаем по определению, что для любой
45