Материал: Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных. Дементьева А.М., Артыщенко С.В

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

2.1.8.Геометрические приложения определенного интеграла

2.1.8.1.Вычисление площадей в прямоугольных координатах

Если на отрезке [a b;] непрерывная функция f (x)≥ 0, то, как известно, площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f (x),

осью Ox и прямыми x = a и x = b (рис. 2.1), вычисляется по формуле

S = ∫b f (x)dx .

(2.20)

Пример 2.7. Найти площадь фигуры,

ограниченной

параболой

y = 3 − x2

осью

Ox . Изобразим фигуру в системе координат

(рис. 2.5).

Данная фигура – это криволинейная

трапеция,

ограниченная

прямыми

x = −

x =

осью

Ох

графиком

функции

y = 3 − x .

Поэтому

для

вычисления

ее

Рис. 2.5

площади применима формула (2.20):

(

(−

= 3 3 − 3(− 3)−

S = ∫

(3 − x

)dx =

3x −

−

− 3

3 3

= 3 3 + 3 3

= 4 3

(кв.ед.).

−

Пример 2.8. Найти площадь фигуры,

ограниченной

прямой

x =1,

осью

кубической параболой y = x3 .

Изобразим

фигуру

системе координат

(рис. 2.6).

Очевидно,

кубическая

парабола

пересекает

ось

при

x = 0 .

Данный

криволинейный треугольник – это фигура,

ограниченная прямыми x = 0 (Оy),

x =1,

y = 0

(Ox ) и графиком функции

y = x3 ,

поэтому для

отыскания ее площади применим формулу

(2.20):

Рис. 2.6

= ∫x

(кв.ед.).

Рассмотрим фигуру, ограниченную прямыми

x = a ,

x = b

( a <b)

графиками двух

непрерывных

на

[a b;]

функций

y = f1 (x)

y = f2 (x),

Рис. 2.7

Имеем

где f1 (x)≤ f2 (x) при x [a b;] (рис. 2.7). Найдем площадь S фигуры BCC1B1 .

Предположим вначале, что фигура расположена в верхней полуплоскости (как

на рис. 2.7), т.е. f2 (x)≥ f1 (x)≥ 0 на [a b;]. Тогда по формуле (2.20) можно найти

площади фигур ACC1 A1 и ABB1 A1 , а

разность этих площадей равна искомой площади.

SACC1A1 = ∫b	f2 (x)dx ,	SABB1A1 = ∫b	f1 (x)dx ,
a		a

откуда S = ∫b	f2 (x)dx − ∫b	f1 (x)dx или
a	a
		S = ∫b (f2 (x)− f1 (x))dx.	(2.21)
		a

Покажем, что формула (2.21) имеет место при любом расположении фигуры BCC1B относительно оси Ox . Пусть, например, эта фигура имеет вид

(рис. 2.8).	y = f1 (x)
Так как функция

непрерывна на [a b;], то она достигает

на [a b;]	наименьшего	значения,
обозначим его через m . Сдвинем
фигуру BCC1B1 вверх на m , тогда новая
фигура будет иметь ту же площадь, что
и BCC1B1 . Сдвинутая фигура будет
ограничена	прямыми x = a ,	x = b и	Рис. 2.8
графиками функций y = f1 (x)= f1 (x)+ m			Рис. 2.8
	~

и y = ~f2 (x)= f2 (x)+ m и при этом расположена в верхней полуплоскости. Ее площадь S , найденная по формуле (2.21), в которой вместо функций f1 (x) и

f2 (x) будут функции	~	~	(x), равна
	f1 (x) и	f2
b	~	~	b
S = ∫(f2 (x)− f1			(x))dx = ∫(( f2 (x)+ m) −( f1 (x)+ m))dx
a			a
или, раскрывая скобки, получаем для вычисления S формулу (2.21).
Вывод. Если фигура зажата слева и справа между прямыми x = a , x = b
( a <b), а снизу и сверху –		между графиками функций y = f1 (x) (снизу) и

y = f2 (x) (сверху), то площадь такой фигуры равна определенному интегралу по отрезку [a b;] от разности большей и меньшей функций.

																									Пример 2.9. Найти площадь
																		фигуры,															ограниченной															параболами
																			y = 4 − x2 и y = 2x2 .
																									Изобразим													фигуру									в			плоскости
																			xOy (рис. 2.9).
																									Очевидно, фигура зажата между
																		прямыми															x = a ,						x = b ,						проходящими
																		через точки пересечения парабол, т.е. a
																		и b - это абсциссы этих точек. Чтобы
																		найти точки пересечения парабол,
																		решим систему																					их			уравнений, т.е.
			Рис. 2.9															систему
																													y = 2x2 ,

Решая, получим																													y = 4 − x2 .
Решая, получим
																									y = 2x								2											2
		y = 2x2								y = 2x2																														x = ±

																																				2								3					,
																													4
																													4
		y =		4 − x2						3x2 =					4			x = ±									3					= ±									y =			8

																																				3
																																				3								3
																																												3
																															2				8					2		8
т.е. точки пересечения имеют координаты																											−							;	3	и					;	3		. Итак, фигура
т.е. точки пересечения имеют координаты																											−							;		и					;			. Итак, фигура
																																3								3
«зажата» между прямыми x = −															2		,	x =						2				, а снизу и сверху у нее графики
«зажата» между прямыми x = −																	,	x =										, а снизу и сверху у нее графики
																3							3
функций y = x2 (снизу) и y = 4 − x2																	(сверху), поэтому по формуле (2.21)
				2															2																					2x3				2
				2															2																									2
			S		3		((4 − x				2	)− x		2	)dx						3		(4 −			2x				2								−								3
			S	= ∫			((4 − x					)− x			)dx		= ∫						(4 −			2x						)dx = 4x						−		3				=
				2															2																					3				2
				−															−																								−
				−		3													−			3
						3																3																									3
	2							2					2 2			3			2							2 3										16				32				112
= 4			− 4	−						−							−						−											=			−					=								≈ 7 (кв.ед.).


	3								3				3		3					3								3								3 9 3 9 3
	3								3				3		3					3								3								3 9 3 9 3

Пример 2.10. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = 2x , y = 3x и y = 4 − x .

Изобразим фигуру в системе координат (рис. 2.10).

Рис. 2.10

Полученный «криволинейный треугольник» зажат слева и справа прямыми, проходящими через точки С и B параллельно Oy ; снизу – график

функции y = 2x , а сверху – ломаная из графиков двух функций. Сразу

применение формулы (2.21) невозможно, но если провести через точку A прямую, параллельную Oy , то фигура разобьется на две, к каждой из

которых применима формула (2.21). Найдем координаты точек пересечения

всех линий, т.е. точек C ,

B .

Для этого решим системы уравнений:

y = 3x,

y =

3x,

y = 3x,

y = 3x

C :

y =

2x,

= 0,

x(3 x − 2)= 0

3x =

3x − 2 x

x = 0,

y = 3x,

y = 0,

x = 0,

x =

3 x = 2,

y =

Найденные точки O(0,0),

. Теперь найдем точку A.

y = 3x,

x =1,

A :

, т.е. A(1,3). И, наконец,

y =

4 − x,

x =1,

y = 3

3x =

находим точку B :

					B :			y = 4 − x,																									y = 4 − x,																										y = 4 − x,

																			2x																																									2 x − 4 = 0.
								y =											2x										4 − x = 2x,																								x +							2 x − 4 = 0.
Решаем уравнение (														)2			+													− 4 = 0 , квадратное относительно																																																				.
Решаем уравнение (												x		)2			+					2							x	− 4 = 0 , квадратное относительно																																																	x			.
					= −										±																= −								±3											,																= −										±3							=
Получим				1,2								2								2 + 4 4																	2										2							т.е.																				2						2									,
Получим			x	1,2								2								2 + 4 4																	2										2							т.е.										x										2						2								2	,
																	2						−3															2																																					2
т.е.	x = 2,		или										= −								2									2				= −2												-							не				подходит,																		т.к.											≥ 0.
т.е.	x = 2,		или								x		= −								2									2				= −2						2						-							не				подходит,																		т.к.										x	≥ 0.
																					2																																								B(2,2).
Подставляя x = 2 в систему, получим x = 2,																																													y = 2 , т.е.																B(2,2).
	Левый «треугольник» зажат между прямыми																																																					x = 2											и					x =1,			снизу –
																																																																	9
график функции y = 2																		, а сверху – y = 3x , поэтому его площадь S1																																																		равна
график функции y = 2																x		, а сверху – y = 3x , поэтому его площадь S1																																																		равна
																																						3						1																																								3


			1																								x2										x2														3								4									2 2										2						2
			1																								x2										x2														3								4									2 2										2						2
	S1 = ∫(3x − 2x )dx																		=		3										− 2															=								1		−									−								1−														=
	S1 = ∫(3x − 2x )dx																		=		3					2					− 2													2		=					2			1		−		81							−				3				1−					9									=
			2																							2										3 2								2							2							81											3									9
			9																																									9
			9																																									9

											77								2		2										2				2								247											2			2
								=			77						−		2		2										2				2			=					247									−		2			2						(кв. ед.).
								=			54						−		3						1−							27						=					162									−			3								(кв. ед.).
											54								3													27											162												3
Правый треугольник зажат между прямыми																																																	x =1 и												x = 2, снизу –																				график
функции y = 2						, а сверху − y = 4 − x , поэтому его площадь S2 равна
функции y = 2					x	, а сверху − y = 4 − x , поэтому его площадь S2 равна
																																																																	3					2
																																																																	3
																	2																																			x		2									x2
																	2																																			x											x2
									S2 = ∫(4 − x −																						2x )dx							=				4x						−							−				2											1	=
									S2 = ∫(4 − x −																						2x )dx							=				4x						−					2		−				2			3 2									=
																	1																																				2									3 2



	= 4(2 −1)					1		(2									1)				2 2								(2 2 −1)=													5							8						2 2												2 2								1
					−	1						2			−				−		2 2																					5			−				8				+		2 2						=						2 2						−		1
					−	2									−				−					3																		2			−				3				+			3					=							3					−		6		(кв. ед.).
						2																		3																		2							3							3												3							6
Площадь S всей фигуры ABC равна
					247								2
																										2				2					1						247												1				220										110
S = S1 + S2										−								2			+					2				2				−	1			=			247								−				1		=		220								=		110					≈1,36						(кв.ед.).
S = S1 + S2			=		162					−						3					+							3						−	6			=			162								−				6		=		162								=			81				≈1,36						(кв.ед.).
					162											3												3							6						162												6				162											81
	Пусть дана фигура, «зажатая» снизу и сверху между прямыми																																																					y = c ,
y = d	(c <d ), и графиками непрерывных
на [c;d]		функций,									x = g1 (y)															и				x = g2 (y)
слева	и	справа					(т.е.											g1 (y)≤ g2 (y)																		при

y [c;d]), (рис. 2.11.)

Чтобы найти площадь этой фигуры,

нужно повернуть чертеж на 90° против

часовой стрелки. Мы увидим, что данная

Рис. 2.11

Источник: https://studfile.net/preview/16566052/

Смотрите также:

_3 тема - Диффузия
[БИЛЕТЫ] IMK №3
00601
01. Концепция БД
02_ЛР
02. РСЧС_ВСМК_Таблица
05. Частная патология ССС - Инфаркт миокарда
0501 Конунников ЛР10-3
0501_Конунников_ЛР№2
06-20-DatabasesGenomEvolution