Документ: Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных. Дементьева А.М., Артыщенко С.В, страницы 36-40

= t5	− t3	+ t − arctg t + C .
5	3

Возвращаясь к переменной x (t = 6 x ), окончательно получим

∫1 +6 3xxdx = (6 5x )5 − (6 3x )+ 6 x − arctg 6 x + C .

II.Рассмотрим теперь интеграл вида

	ax + b m n	ax + b r s
		, ,
∫R x,			dx .
	cx + d	cx + d

Этот интеграл сводится к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки

ax + b = tk , cx + d

где k – общий знаменатель дробей m/n, . . . , r/s. Пример 1.39. Вычислить интеграл ∫ xx+ 4 dx .

Здесь только одна дробная степень (x + 4)1/2.

Делаем подстановку x + 4 = t2 ,

x = t2 − 4 , dx = 2tdt . Тогда

t2

− 4 + 4

4

dt

x + 4

∫

dx = 2∫

dt = 2∫

dt =

2∫ 1 +

dt = 2∫dt

+ 8∫

=

x

t

2

− 4

t

2

−

4

t

2

− 4

t

2

− 4

t − 2

− 2

= 2t + 2ln

+ C =

t =

+ 2ln

x + 4

+ C .

x + 4

= 2

x + 4

t + 2

x + 4 + 2

dx

Пример 1.40. Вычислить интеграл

.

∫3

(2x +1)2 −

2x +1

Под интегралом присутствуют корни третьей и второй степени. Наименьшее общее кратное чисел 3 и 2 равно 6. Поэтому вводим замену

2x +1 = t6 , 2dx = 6t5dt , dx = 3t5dt .

Выразим через t корни в знаменателе:

3 (2x +1)2 = t4 , 2x +1 = t3 .

Подставляя замену в первоначальный интеграл, получаем

∫

dx

= ∫

3t5dt

=3 ∫

t2 dt

=3

∫

t2 −1 +1

dt =

t

4

− t

3

t −1

2

3

2x +1

(2x +1) −

36

(t −1)(t +1) +1

1

t2

= 3∫

dt

= 3∫ t +1 +

dt = 3

+ t + ln

t

−1

+ C .

t

−1

t −1

2

Т.к. t = 6

2x +1

, окончательно будем иметь

3

dx

2x +1

6

∫

2

= 3

+

2x +1

+ ln

2x +1

−1

+ C .

3 (2x +1)

−

2x +1

2

1.9.Интегрирование некоторых тригонометрических выражений

I. Рассмотрим интеграл вида

						∫R(sin x,cos x)dx .																																(1.17)
Этот интеграл с помощью подстановки
											tg			x		= t																						(1.18)
											tg					= t																						(1.18)
										2
всегда сводится к интегралу от рациональной функции.																																		Выразим				sin x и
cos x через tg	x	, а следовательно, и через t:
cos x через tg	2	, а следовательно, и через t:																							x									x			x
	2		x								x					x
			x								x					x																	2			2
	sin 2					2sin							cos									cos2									cos				− sin
			2								2					2
sin x =			2		=						2					2		, cos x =						2				=						2			2	,
	1								x							2 x
						sin	2		x		+ cos					2 x							1								cos		2	x	+ sin	2	x
									2								2						1										2	x		2	x
									2								2			x														2			2
разделим числитель и знаменатель на cos2																				x	:
разделим числитель и знаменатель на cos2																					:
								x								2											x
						2tg		x								2t						1	− tg	2			x				1 −t2
								2
		sin x =						2				=														2
																			, cos x =											=1 + t2 .
										x					1 + t2
						+ tg		2		x														2			x
				1						2												1	+ tg	2			x
				1						2												1	+ tg			2
Выражаем переменную x через t : x = 2arctg t , dx =																												2dt				.
Выражаем переменную x через t : x = 2arctg t , dx =																										1			+ t2			.
																										1			+ t2

Таким образом, sin x , cos x и dx выразились рационально через t. Так как рациональная функция от рациональных функций есть функция рациональная, то, подставляя полученные выражения в интеграл (1.17), получим интеграл от рациональной функции:

	2t			1	−t2			2dt
∫R(sin x,cos x)dx = ∫R			,								.
∫R(sin x,cos x)dx = ∫R	1 + t	2	,	1	+ t	2	1		+ t	2	.
	1 + t			1	+ t		1		+ t

37

Пример 1.41. Найти интеграл ∫

dx

.

sin x

x

2dt

2t

Применим подстановку (1.18), то есть

t = tg

,

dx =

,

sin x =

.

Поэтому

2

1 + t2

2dt

dx

= ∫dt

x

∫

= ∫

1 + t2

= ln

t

+ C = ln

tg

+ C .

sin x

2t

t

2

1 + t2

dx

Пример 1.42. Найти интеграл ∫

.

4sin x + 3cos x + 5

Подынтегральная функция рационально зависит от sin x

и cos x ; применим

подстановку (1.18),

тогда

2dt

2t

1 − t2

t = tg

x

, dx =

,

sin x =

, cos x =

1 + t

1 + t2

и

2

dx

2dt

dt

1

∫

= ∫

1 + t2

=

2∫

=

∫

= −

+ C .

4sin x + 3cos x + 5

8t

1 − t

2

2t

2

+8t

+8

2

t +

2

+ 5

(t + 2)

+

31 + t2

1 + t2

Возвращаясь к переменной x, получим

∫

dx

= −

1

+ C .

4sin x + 3cos x + 5

tg

x

+ 2

2

Рассмотренная

подстановка

дает

возможность

проинтегрировать

всякую функцию вида R(sin x,cos x). Поэтому ее называют «универсальной

тригонометрической подстановкой». Однако на практике она иногда приводит к слишком сложным рациональным функциям. Поэтому наряду с «универсальной тригонометрической подстановкой» полезно знать также другие тригонометрические подстановки, которые в некоторых случаях быстрее приводят к цели.

1. Если R(sin x,cos x) - нечетная функция относительно	sin x ,	т.е. если
R(−sin x,cos x)= − R(sin x,cos x), то удобна подстановка cos x =t .
2. Если R(sin x,cos x) - нечетная функция относительно	cos x ,	т.е. если
R(sin x,−cos x)= − R(sin x,cos x), то применяют подстановку sin x =t .
3. Если R(sin x,cos x) - четная функция относительно sin x	и cos x , то есть
R(− sin x,−cos x)= R(sin x,cos x), или подынтегральная функция		зависит
только от tg x, то в интеграле делают подстановку tg x = t .

38

Пример 1.43. Найти интеграл ∫

sin x

dx .

cos2x

Здесь R(sin x,cos x)=

sin x

.

cos2 x − sin2 x

Видно, что

− sin x

sin x

R(− sin x,cos x)=

= −

= −R(sin x,cos x),

cos2 x − sin2 x

т.е. подынтегральная функция нечетна относительно

sin x .

Делаем замену

cos x =t , dt = −sin xdx . Теперь

∫

sin xdx

= ∫

− (− sin xdx)

=

∫

− dt

= −

1

∫

dt

=

cos

2

x − sin

2

x

2cos

2

x −1

2t

2

−

1

2

t2

−

1

2

t −

= −

1

ln

2

+ C = −

1

ln

2

cos x −1

+ C .

2

1

2

t +

2

2 cos x +1

2

Пример 1.44. Найти интеграл ∫tg3 xdx .

Делаем замену t = tgx , x = arctgt , dx =1 +dtt2 , тогда

∫tg3 xdx = ∫t3 t2dt+1 = ∫(t3t+2 +t)1−t dt = ∫ t − t2 t+1 dt =

t2

d (t2 +1)

t2

1

2

tg2 (x)

1

2

=

− ∫ 2(t2 +1)

=

−

2 ln

t

+1

+ C =

2

−

2 ln

tg

x +1

+ C .

2

II. Рассмотрим частный случай интеграла ∫R(sin x,cos x)dx , а именно

∫sinm xcosn xdx,

где m и n – натуральные числа. Возможны два случая:

а) хотя бы одно из чисел m и n нечетное. Допустив для определенности, что n нечетное (n = 2p + 1), преобразуем данный интеграл:

∫sinm xcosn xdx = ∫sinm xcos2 p+1 xdx = ∫sinm xcos2 p xcos xdx = = ∫sinm x(1 − sin2 x) p cos xdx .

Т.к. подынтегральная функция нечетна по cos x , то делаем замену: sin x = t , cos xdx = dt .

39

Подставляя новую переменную в данный интеграл, получим:

∫sinm xcosn xdx = ∫tm (1 − t2 )p dt ,

т.е. получаем интеграл от рациональной функции от t.
б) числа m и n – четные: m = 2p,		n = 2q. Применим формулы, известные из
тригонометрии:
sin2 α =1 − cos2α		, cos2 α =1 − cos2α .					(1.19)
	2				2
Тогда
∫sinm xcosn xdx = ∫sin2 p xcos2q xdx = ∫(sin2						x) p (cos2 x)q dx =
	1 − cos2x p		1	+ cos2x q		dx .
= ∫	2			2		dx .
	2			2

Возводя в степень и раскрывая скобки, получим слагаемые, содержащие cos2x в нечетных и четных степенях. Слагаемые с нечетными степенями cos2x интегрируются, как указано в случае а). Четные показатели степеней снова понижаем по формулам (1.19). Продолжая так, придем к интегралам вида ∫coskxdx.

Пример 1.45. Найти интеграл ∫sin4 xcos5 xdx . Перепишем интеграл в виде

∫sin4 xcos5 xdx = ∫sin4 xcos4 xcos xdx .

Введем замену переменной: sin x = t , cos xdx = dt ,

после чего ∫sin4 xcos5 xdx = ∫sin4 x(1 − sin2 x)2 cos xdx = ∫t4 (1 −t2 )2 dt =

= ∫(t4 − 2t6 + t8 )dt = t5	−	2t7	+ t9	+ C и т.к. t = sin x , окончательно получаем
5		7	9
∫sin4 xcos5 xdx = sin5 x					−	2sin7 x	+ sin9 x	+ C .
				5		7	9

Пример 1.46. Найти интеграл ∫sin3 xcos3 xdx .

Обе тригонометрические функции в нечетных степенях. Поэтому в

качестве t можно взять любую из них. Пусть, например, cos x = t , − sin xdx = dt . Получим

∫sin3 xcos3 xdx = ∫sin2 xcos3 xsin xdx = ∫(1 − cos2 x)cos3 xsin xdx =

= −∫(1 −t2 )t3dt = −∫(t3 −t5 )dt = t6	− t4	+ C = cos6 x	− cos4 x	+ C .
6	4	6	4

40

Материал: Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных. Дементьева А.М., Артыщенко С.В

I. Рассмотрим интеграл вида

Смотрите также: