Материал: Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных. Дементьева А.М., Артыщенко С.В

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Используем формулу (2.25).

Здесь f (x)= ln x ,

′

a =1,

b = e ,

(x)= x ,

поэтому

x2 +1

l = ∫ 1+

dx =

∫

dx = ∫

dx =

∫

dx =

x2 dx

xdx

= ∫

+ ∫

= ∫

+ ∫

x x

1 d(x2 +1)

− d

= ∫

+ ∫

∫

(x2 +1)−

(x2 +1)+

∫

1 +

воспользуемся табличными интегралами

∫x−2 dx =

2 x + C и ∫

2 = ln x + 1 + x2 + C

1 + x

+1 − ln

1 +

+1 −

2 −

− ln1

1 +

−

ln(1 +

)+ ln e + ln(1 +

e2 +1

−

+1 − ln1 +

e2 +1

≈ 2 (ед.).

2 +1

x =ϕ(t)

Если функция

y = f (x)

задана параметрически

а значения

(t)

y =ψ

параметра t , соответствующие точкам

A и B на графике, равны t1 и t2 , то

для

вычисления

длины дуги

графика по

формуле

(2.25)

сделаем

′

интеграле замену переменной x = ϕ(t),

′

ψ (t)

(по формуле

′

dx =ϕ (t)dt ,

f (x)=

ϕ (t)

дифференцирования функции, заданной параметрически).

Учитывая,

что

ϕ(t1 )= a , ϕ(t2 )= b , имеем

′

(f (x))

ϕ (t)dt .

l = ∫ 1 +

dx =∫

′(t)

Если t1 <t2 , то, учитывая, что b = ϕ(t2 )>a = ϕ(t1 ), делаем вывод, что ϕ(t)

возрастает

при

t1 ≤ t ≤ t2 ,

и,

поэтому

(t)>

0 на

[t1 ,t2 ].

Отсюда

получим

(t) =ϕ

(t)

′

							′
	(ϕ (t))			+ (ψ	(t))		′
t2	′		2		′	2	ϕ (t)dt , или
l = ∫
		ϕ (t)

t1
				′

l = t∫2

dt .

(ϕ′(t))2

+ (ψ ′(t))2

(2.26)

ϕ(t1 )= a <ϕ(t2 )= b ,

Если

t1 >t2 ,

то,

учитывая, что

делаем вывод

об

убывании

ϕ(t)

отрицательности

′

на

[t2 ,t1 ].

Получаем,

что

ϕ (t)

′

ϕ (t)

= −ϕ (t), тогда

(ϕ (t))

+ (ψ (t))

′

(ϕ (t))

+ (ψ

(t))

′

ϕ (t)dt

′

l = ∫

= ∫

dt .

′

−1

(t)

Меняя пределы интегрирования, имеем

l = t∫1

dt .

(ϕ′(t))2

+ (ψ ′(t))2

(2.26')

Сравнивая формулы (2.26) и (2.26'), можно записать формулу для

вычисления l так:

l = τ∫2

dt ,

(ϕ′(t))2

+ (ψ ′(t))2

(2.27)

τ1

где τ1

и τ2

значения параметра t ,

соответствующие концам дуги, причем

τ1 <τ2 .

Пример 2.17. Найти длину астроиды, заданной параметрически уравнениями

	3
x = a cos		t,	где a >0, t [0,2π].

y = a sin3 t,

Астроида

–

замкнутая

линия,

(рис. 2.20).

Учитывая

симметрию

астроиды,

достаточно найти длину ее части, лежащей

в I четверти (t 0,

Используем

формулу

(2.27),

где

-а

ϕ(t)= a cos

t ;

(t)=3a cos

t(−sin t)

′

ψ(t)= a sin

′

t cost

и τ1

= 0

t ; ψ (t)=3a sin

(точка (а,0));

τ2

= π

(точка

(0,а)).

-а

Рис. 2.20

Получим

l = 4l1 = 4∫2

9a2 cos4 t sin2 t +9a2 sin4 t cos2 tdt = = 4∫2

dt =

9a2 cos2 t sin2 t(cos2 t + sin2 t)

π	π		cos2t	π
π	π
2	2
2	2	−		2	= − 3a(cosπ − cos0)= 6a	(ед.).
				2
=12a∫cost sintdt =6a∫sin 2tdt = 6a			2
0	0		2	0
				0

Рассмотрим теперь дугу линии на плоскости, в которой задана полярная система координат. Пусть линия – график функции ρ = f (ϕ) и полярные

углы концов дуги равны α и β , где α <β , рис. 2.21.

ϕ=β

Аϕ=α

О	1	Р	х
		Рис. 2.21

Чтобы найти длину дуги AB , введем на плоскости декартову систему координат xOy , в которой положительная полуось Ox совпадает с полярной

осью OP . Для любой точки M (x, y), лежащей на дуге, x = ρ cosϕ , y = ρ sinϕ , причем ρ = f (ϕ). Поэтому получим

x = f (ϕ)cosϕ,

y = f (ϕ)sinϕ,

т.е. кривая – это график функции, заданной параметрически, где роль параметра играет полярный угол ϕ (на дуге AB ϕ [α, β]). По формуле

(2.27)

′ 2

′

l = ∫

(f (ϕ)cosϕ)

(f (ϕ)sin ϕ)

dϕ,

и так как выражение под знаком корня равно

(f (ϕ)cosϕ + f (ϕ)(−sinϕ))

+ (f (ϕ)sinϕ + f (ϕ)cosϕ)

′

возводим суммы в квадрат и приводим подобные

= (f

′

+ (f (ϕ))

, то

(ϕ))

окончательно получаем

= ∫

(f (ϕ))

′

dϕ . (2.28)

(ϕ))

Пример 2.18. Найти длину кардиоиды, заданной в полярной системе координат уравнения ρ = a(1 − cosϕ), рис. 2.22. Учитывая

Рис. 2.22

симметрию кардиоиды, найдем длину ее половины (ϕ [0,π]) по формуле

(2.28), в которой f (ϕ)= a(1 − cosϕ), f	(ϕ)= a sinϕ , α = 0 , β =π . Имеем
	′

l = 2π∫(a(1 − cosϕ))2 + (a sinϕ)2 dϕ =

= 2aπ∫1 − 2cosϕ + cos2 ϕ + sin 2 ϕ = 2aπ∫2(1 − cosϕ)dϕ =

2 ϕ

применим формулу 1 − cosϕ = 2sin

= 4aπ∫

sin 2 ϕ

π] sin

dϕ =

при ϕ [0,

≥ 0

− cos

= 4a∫sin

dϕ =8a∫sin

=8a

=−8a cos π − cos 0 =8a (ед.).

2.1.8.4.Вычисление объема тела по площадям параллельных сечений

Рассмотрим в пространстве xOyz тело, «зажатое» между плоскостями x = a , x = b . Пусть для любого x [a,b] известна площадь сечения этого тела плоскостью, проходящей через точку x параллельно плоскости yOz

(т.е. перпендикулярно оси Ox ). Эта площадь зависит от x , т.е. является функцией, которую обозначим S(x). Пусть S(x) непрерывна на [a,b]. Нас

интересует объем данного тела. Разобьем отрезок [a,b] произвольными точками x0 = a, x1 , , xn = b на n частей и проведем через каждую точку xi


	(i = 0,1, , n )		плоскость, параллельную
	плоскости yOz (рис. 2.23).
	Тело разобьется на n слоев.
	Рассмотрим слой, лежащий между
	плоскостями		x = xi−1 и x = xi . Выберем
	на отрезке [xi−1 , xi ]			произвольную точку
	ci и для каждого			i =1, , n	построим
	цилиндр с образующей, параллельной
Рис. 2.23	оси Ox ,	и	направляющей		линией,
являющейся контуром сечения	тела плоскостью x = ci . Высота такого
цилиндра равна ∆xi = xi − xi−1 . Получим тело,		состоящее из n цилиндров,

объем которого равен сумме объемов этих цилиндров. Объем цилиндра равен V = Sосн. h , здесь для каждого i =1, , n Sосн. = S(ci ), h = ∆xi , поэтому объем i -го цилиндра равен S(ci ) ∆xi .

Объем построенного нами тела равен
Vn = ∑n S(ci )∆xi .	(2.29)
i=1
Если разбиение отрезка [a,b] достаточно	мелкое, то объем

построенного тела близок к объему данного тела. Поэтому, если неограниченно измельчать разбиение отрезка и при этом для каждого разбиения искать приближенный объем Vn по формуле (2.29), то предел, к

которому стремится Vn при n → ∞ и max ∆xi →0 , считают равным объему

1≤i≤n

V данного тела. Указанный предел существует, т.к. Vn – интегральная сумма для непрерывной на [a,b] функции S(x), а предел интегральной суммы равен

определенному интегралу ∫b S(x)dx . Получаем формулу

V = ∫b	S(x)dx .	(2.30)
a

Формула (2.30) легко применима для вычисления объемов тел вращения.

	2.1.8.5. Объем тел вращения
	Рассмотрим	криволинейную
	трапецию и образуем в пространстве
	тело, вращая эту трапецию вокруг оси
	Ox (рис. 2.24).
	Получим	тело	вращения,
	зажатое между	плоскостями x = a ,
	x = b . Для любого x [a,b]		сечением
	этого тела плоскостью, проходящей
Рис. 2.24	через точку x параллельно плоскости

yOz , является круг с центром в точке x и радиусом, равным |f(x)|. Площадь этого сечения S(x)=π(f (x))2 dx .

По формуле (2.30) объем Vx этого тела вращения определяется равенством

	Vx =π∫b (f (x))2 dx .			(2.31)
			a
Пример 2.19. Найти объем тела,
образованного вращением вокруг оси Ox
фигуры, ограниченной осью Ox , прямой
x = 3 и параболой y =			.
x = 3 и параболой y =		x +1	.
Изобразим тело		в системе xOyz
(рис. 2. 25).

Для вычисления объема этого тела

Рис. 2.25

Источник: https://studfile.net/preview/16566052/

Смотрите также:

_3 тема - Диффузия
[БИЛЕТЫ] IMK №3
00601
01. Концепция БД
02_ЛР
02. РСЧС_ВСМК_Таблица
05. Частная патология ССС - Инфаркт миокарда
0501 Конунников ЛР10-3
0501_Конунников_ЛР№2
06-20-DatabasesGenomEvolution

Материал: Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных. Дементьева А.М., Артыщенко С.В

2.1.8.5. Объем тел вращения

Смотрите также: