Материал: Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных. Дементьева А.М., Артыщенко С.В

аналогичной формуле (2.21), т.е.

S = ∫d (g2 (y)− g1 (y))dy .

(2.22)

c

Пример 2.11. Найти площадь фигуры, ограниченной осью Ox ,

графиком функции y = arcsin x и прямой y = π +1− x .

2

Изобразим фигуру на плоскости xOy (рис. 2.12).

Можно найти площадь данной

фигуры, используя формулу (2.21),

разбив ее на две части, а затем,

сложив площади этих частей

π

1

2 π

S = ∫arcsin xdx +

∫

+1− x dx .

0

1 2

Рис. 2.12

Вычисление первого

интеграла не

очень простое. Попробуем повернуть

как на рис. 2.12, где с = 0, d =

π ,

g1 (y)= sin y , g2 (y)=

π

+1− y

(уравнение

2

2

π +1− x

y = arcsin x

переписали в виде

x = sin y , а уравнение y =

– в виде

x = π +1− y ). Применив формулу (2.22), получим

2

2

π

y2

π

2 π

π

2

S = ∫

+1− y

−sin y dy =

+1 y −

+ cos y

=

2

2

0 2

0

=

π

π

−

1

π 2

+ сos

π

0 + cos 0)=

+1

−(0 −

2

2 2

2

2

=

π 2

+

π

−

π 2

+ 0

−1 =

π 2

+

π

−1 ≈ 1.8 (кв. ед.).

4

2

8

8

2

Пусть

дана криволинейная

трапеция

(см. рис.

2.1), где

функция

y = f (x) задана параметрически

x =ϕ(t),

(t),

y =ψ

при этом учтем,

a

f (x)= y =ψ

(t), dx

=ϕ

(t)dt ,

а

нижний

и верхний

что

′

пределы интегрирования для переменной t

будут соответственно равны α и

β . Получим формулу

S

β

′

(2.23)

= ∫ψ(t) ϕ (t)dt .

α

Пример 2.12. Вычислить площадь области, ограниченной эллипсом

x = a cos t,

0 ≤ t ≤ 2π .

y = bsin t,

Изобразим данную область (рис. 2.13).

Как известно, данный эллипс

симметричен

относительно

координатных

осей.

Рассмотрим

половину области, лежащую в верхней

полуплоскости. Она ограничена прямыми

x = ±a , осью Ox и эллипсом,

заданным

параметрически.

Для

вычисления

площади

половины

области

применима

формула

(2.23), в

которой ϕ(t)= a cost ,

Рис. 2.13

ψ(t)= bsin t ,

α =π

(т.к.

ϕ(π)= a cosπ = −a )

и

β = 0 (т.к.

ϕ(0)= a cos 0 = a ).

По формуле

(2.23)

площадь половины области

′

0 1

−cost

0

0

2

dt =

S1 = ∫bsin t (a cost) dt

= −ab∫sin

tdt = −ab∫

2

π

π

π

= −ab

1

sin 2t

0

= −

ab

1

= −

ab

(−π)=

πab

.

2

t −

2

π

0 −π −

2

(sin 0 −sin 2π)

2

2

2

Искомая площадь S = 2S

= 2 πab =πab (кв. ед.).

1

2

2.1.8.2. Площадь криволинейного сектора в полярной системе координат

Рассмотрим на плоскости полярную систему координат и фигуру,

ограниченную

двумя

лучами

ϕ =α , ϕ = β

(α <β )

и линией,

уравнение

которой в полярной системе координат имеет вид

ρ = f (ϕ),

где

f (ϕ)

непрерывна при ϕ [α, β], рис. 2.14.

(x −1)2 + y2

=1.

Видно,

что

центр

окружности

в

точке (1;0),

а

радиус

R =1.

Изобразим данную

фигуру

в

плоскости xOy , рис. 2.16.

Искомую площадь можно найти

по формуле

S = ∫b (f2 (x)− f1 (x))dx ,

a

f2 (x)=

Рис. 2.16

где

1−(x −1)2

(нашли

из

уравнения окружности), а

f1 (x)= x , т.е.

уравнение

ρ sinϕ = ρ cosϕ, откуда

либо

ρ = 0 (точка

0), либо tgϕ =1

и

ϕ =

π

(луч в I

четв.), либо ϕ =

5π

(луч в III четв.). Данная фигура –

это

4

4

π

криволинейный сектор,

ограниченный линией ρ = 2cosϕ

и лучами ϕ =

и

π

4

ϕ =

(ось Oy ). По формуле (2.24)

2

π

π

π

S =

1

2

2

dϕ =

1

2 1+ cos 2ϕ

dϕ

=

1

sin 2ϕ

2

=

2

∫(2cosϕ)

2

4∫

2

ϕ +

2

π

π

π

4

4

4

π

−

π

1

π

2

π

=

π

+

1

(0

−1)=

π

−

1

≈ 0,285 (кв.ед.).

=

2

4

+

sin 2

−sin

4

4

2

4

2

2

2

Очевидно,

эта

фигура

симметрична относительно оси Ox ,

поэтому

найдем площадь

половины

фигуры,

лежащей

в

верхней

полуплоскости

(0 ≤ϕ ≤π ),

а

затем

умножим на два.

Эту площадь можно найти как

разность

площадей

фигур,

ограниченных

большой и

маленькой

Рис. 2.17

кардиоидами и лучами ϕ = 0 и ϕ =π .

По формуле (2.24)

1

1 π

S = 2(S2

π

2

2

− S1 )= 2

2 ∫0

(2(1−cosϕ)) dϕ −

2 ∫0

(1−cosϕ) dϕ =

= 2 1

∫(4(1−cosϕ)2 −(1−cosϕ)2 )dϕ =3∫(1−cosϕ)2 dϕ =

π

π

2 0

0

π

π

π

π

1

+ cos2ϕ

=3∫(1 − 2cosϕ + cos

2

− 2sin

ϕ

+ ∫

ϕ)dϕ = 3 ϕ

0

0

2

dϕ =

0

0

1

1

π

= 3 π − 2sin π + 2sin 0 +

2

ϕ +

2

sin 2ϕ

0

=

= 3π +

3

1

sin 2π −

1

sin 0

= 3π

+

3

π = 4,5π (кв. ед.).

2

π −0 +

2

2

2

2.1.8.3. Вычисление длины дуги плоской кривой

y

Пусть на

плоскости

xOy

задан

график

непрерывной

A

y=f(x)

функции

y = f (x). Возьмем

на

B

этой линии две точки A(a, f (a)) и

а

b

B(b, f (b)), где a <b (рис. 2.18).

x

Если функция

f (x) имеет

Рис. 2.18

непрерывную

производную

на

отрезке [a,b], то длина дуги AB может быть найдена по формуле

l = ∫b

dx,

1+(f ′(x))2

(2.25)

a

вывод которой получим при изучении

криволинейных интегралов.

Пример 2.16. Найти длину дуги графика

функции y = ln x от точки A(1,0) до точки B(e,1),

(рис. 2.19).

Рис. 2.19