Документ: Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных. Дементьева А.М., Артыщенко С.В, страницы 71-75

применим формулу (2.31), в которой a = −1, b = 3, f (x)=

x +1 . Получим

3

2

3

x2

3

=

Vx =π ∫

( x +1) dx =π ∫(x +1)dx =π

2

+ x

−1

(−1)

−1

3

2

=π(4 + 4)=8π (куб. ед.).

−

=π

2

+ (3 − (−1))

y

y=ex

y=x

Пример 2.20. Найти объем тела,

образованного вращением вокруг оси Ox

фигуры,

ограниченной

графиком

функции

y = ex ,

осью

Oy и прямыми

y = x и

x =1

(рис. 2.26). Очевидно, данное тело имеет

внешнюю и внутреннюю поверхности,

O

x

образованные

вращением линий

y = ex

и

y = x

соответственно. Объем такого тела

z

равен

разности

двух

объемов,

Vx =Vx1

−Vx2 ,

где Vx

– объем тела, полученного вращением

Рис. 2.26

1

криволинейной

трапеции,

ограниченной

линиями

x = 0 , x =1,

y = 0

и

y = ex ,

а Vx2

-

объем конуса,

полученного

вращением треугольника, ограниченного линиями x = 0 , x =1,

y = 0 ,

y = x .

По формуле (2.31)

= π∫1 (ex )2 dx,

Vx2 = π∫1 x2 dx ;

Vx1

и

0

V = π

1

(e2 x − x2 )dx =

2 x

− x

3

1

2

− e

0

3

0

3

∫

π e

= π e

− 1 −

=

3

0

2

3

0

2

e2 −1

−

1

e

2

−

5

=π

2

=π

2

6

≈ 9 (куб. ед.).

3

Рассмотрим теперь тела вращения вокруг оси Oy . Если вокруг оси Oy

y

вращается

криволинейная

трапеция,

d

ограниченная

прямыми

y = c ,

y = d

x=g(y)

(c <d ),

осью

Oy

и

графиком функции

x = g(y)

( g(y)≥ 0

на

отрезке

[c;d]),

то

c

получим

тело вращения

вокруг оси

Oy

O

x

(рис. 2.27) такого же типа, как тело на рис.

2.24, но у которого поменялись ролями

z

Рис. 2.27

переменные x и y .

Поэтому объем Vy

данного тела

вычисляется по формуле, аналогичной формуле (2.31):

71

Vy = π∫d (g(y))2 dy .

(2.32)

c

Пример 2.21. Найти объем тела,

полученного вращением вокруг оси Oy фигуры,

ограниченной графиком функции

y = arccos x ,

осью Ox и осью Oy , рис. 2.28.

Чтобы найти объем Vy

тела, воспользуемся

формулой

(2.32), в

которой

c = 0,

d =

π

, а

x = g(y)

2

функцию

найдем

из

уравнения

y = arccos x , т.е. x = cos y .

Получаем

Рис. 2.28

π

1

+ cos 2y

π

sin 2y

π

2

(cos y)

2

dy =

2

=

Vy =π ∫

dy =π ∫

y +

0

2

0

=

π

+

sin π

=

π 2

≈ 2,9 (куб. ед.).

2

4

2.1.9.Физические приложения определенного интеграла

2.1.9.1.Вычисление работы

Вначале второй главы расматривалась задача о работе переменной силы F(x) по перемещению материальной точки вдоль оси Ox от точки a до

точки b. Была получена формула (2.4′)

A = ∫b F(x)dx .

a

Задача. Деревянный поплавок цилиндрической формы, площадь

основания которого	S = 4000 см2,	а высота H =50	см, плавает на
поверхности воды.	Какую работу	нужно затратить,	чтобы вытащить

поплавок на поверхность? (Плотность дерева ρд = 0,8 смг3 ).

Изобразим сечение поплавка и направим ось Ox по оси симметрии сечения (см. рис. 2.29).

72

Рис. 2.29

Обозначим высоту погруженной части через h (см), а точку сечения, совпадающую с точкой О в начальном положении поплавка, обозначим M . Чтобы вытащить поплавок на поверхность, нужно переместить точку M по оси Ox от точки x = 0 до точки x = h . При этом нужно приложить силу, не меньшую чем та сила, которая тянет поплавок вниз. Пока поплавок не вынут из воды на него действуют две силы: сила тяжести ( Fтяж ) и сила Архимеда

( Fарх ). Очевидно, сила тяжести равна весу тела, т.е. Fтяж = mg = ρдVg , где V -

это объем тела, т.е. Fтяж = ρд S H g . Сила Архимеда равна весу вытесненной телом воды. Если точка M расположена на расстоянии, равном x от поверхности воды (см. рис. 2.29), то погруженная часть поплавка имеет

высоту	( h − x ),	поэтому объем вытесненной воды				Vв	= S (h − x).
Соответственно		вес	вытесненной	воды равен	ρвVв g , где	ρв	– плотность
воды, то	есть Fарх		= ρв S (h − x)g .	Суммарно,	учитывая направление сил,

получим, что тело тянет в воду сила F(x)= Fтяж − Fарх = Sg(ρд H − ρв (h − x)). Найдем начальную глубину h погружения поплавка. Так как вначале поплавок плавает, то при x = 0 Fтяж = Fарх , т.е. F(0)= Sg(ρд H − ρв h)= 0,

ρ

откуда ρдH = ρвh и h = ρд H . Подставим найденное h в формулу F(x),

в

получим

ρ

д

F(x)= Sg

ρ

H − ρ

H − x

= Sgρ

x .

д

в

ρв

Теперь по формуле (2.4′), где a = 0 , b = h , находим работу:

h

x2

h

Sgρв h2

A = ∫Sgρв xdx = Sgρв

0

=

.

2

0

Подставив в формулу работы h =

ρд

H , получаем

A =

Sgρд2 H 2

.

ρв

2ρв

73

Т.к. S = 4000

см2, g =100

см

,

ρд = 0,8

г

,

ρв =1

г

,

H =50

см, имеем

сек

2

см3

4000

1000

0,64

2500

г см2

кг м2

A =

=3,20

Дж.

2

1

сек

2.1.9.2. Вычисление пути по известной скорости

При изучении производной рассматривалась задача о мгновенной скорости. Если тело движется прямолинейно и его перемещение S является

функцией	времени, т.е. S = S(t), то производная	S (t)	задает в каждый
	мгновенную скорость V (t):	′
момент t	мгновенную скорость V (t):		(2.33)
	V (t)= S (t).		(2.33)
	′

Пусть известна функция V (t) непрерывная на [t1 ,t2 ]. Нам нужно найти путь, пройденный телом за время от момента t = t1 до момента t = t2 . Очевидно, искомый путь S = S(t2 )− S(t1 ). Учитывая (2.33), делаем вывод, что функция

S(t) - это первообразная функции V (t), и так как V (t)			непрерывна на [t1 ,t2 ],
то по формуле (2.12) Ньютона-Лейбница t∫2 V (t)dt = S(t2 )− S(t1 ), т. е.
t1
S = t∫2 V (t)dt .						(2.34)
t1	равна V = (3t2		− 2t) м/с. Найти путь
Задача. Скорость точки в момент t	равна V = (3t2		− 2t) м/с. Найти путь
S , который преодолела точка, двигаясь прямолинейно, за время, равное 4 с,
прошедшее от начала движения.
Воспользуемся формулой (2.34), где V = 3t2 − 2t , t				= 0, t	2	= 4 :
			1		2
S = ∫4 (3t2 − 2t)dt = (t3 − t2 )		4 = 64 −16 = 48 (м).
S = ∫4 (3t2 − 2t)dt = (t3 − t2 )		4 = 64 −16 = 48 (м).
0		0

2.2.Несобственные интегралы

Впервом разделе главы 2 рассматривались определенные интегралы. В определении этого понятия фигурировал предел последовательности интегральных сумм, который не обязательно существует. Отмечалось, что непрерывные на отрезке [а;b] функции интегрируемы на этом отрезке.

Оказывается есть и другие классы интегрируемых функций. Например, если функция y = f (x) имеет внутри [а;b] разрыв первого рода (с конечным

скачком в точке разрыва), а в остальных точках [а;b] непрерывна, то ∫b f (x)dx

a

тоже существует. При этом для его вычисления можно использовать формулу Ньютона-Лейбница (не на всем отрезке, а на его частях). Продемонстрируем вышесказанное на примере. Рассмотрим функцию

74

( ) х при х 0, y = f x = x +1 при х 0..

Очевидно, функция f (x) непрерывна при x (− ∞,0) и при x (0,∞), а

	в точке x0	= 0	имеет	разрыв	первого
	рода, рис. 2.30.
	Вычислим	∫1 f (x)dx .		По свойству 7
		−1
	определенных		интегралов		можно
					записать
	∫1 f (x)dx = ∫0 f (x)dx + ∫1 f (x)dx = ∫0 хdx +
	−1	−1		0	−1
Рис. 2.30	1
Рис. 2.30	∫(x +1)dx ,	(вместо		функции f (x)
	∫(x +1)dx ,	(вместо		функции f (x)
	0

подставили выражения, которыми f (x) задается слева и справа от точки х0 = 0). В последнем выражении каждое слагаемое можно вычислить по формуле Ньютона-Лейбница, т.е.

1	f (x)dx =	x2	0	x2		1			1		1
1		x2	0	x2		1			1		1
∫			−1	+	+ x	0	= 0	−		+		+1	− 0	=1.
−1		2	−1	2		0			2		2			на [а;b] есть
В некоторых случаях,			например, если у функции f (x)											на [а;b] есть

точки разрыва второго рода, определенный интеграл может и не существовать. Используя понятие определенного интеграла, все же удается описать такие ситуации. Кроме того, распространяют «понятие определенного интеграла» на бесконечный промежуток интегрирования. В таких случаях полученные интегралы называют несобственными.

2.2.1. Несобственные интегралы I рода

Рассмотрим функцию y = f (x), непрерывную на полуоси [a,+∞). Для

любого b (b>a ) существует ∫b	f (x)dx , очевидно зависящий от	верхнего
a
предела b. Устремим b к ( + ∞).		f (x) на
Определение. Несобственным интегралом I рода от функции		f (x) на
полуоси [a,+∞), обозначаемым ∞∫ f (x)dx , называют blim→+∞ ∫b f (x)dx , т. е.
a	a
+∞∫ f (x)dx = blim→+∞ ∫b f (x)dx .		(2.35)
a	a

Если этот предел существует, то несобственный интеграл называют сходящимся (его значение равно полученному пределу). Если же предел бесконечен или не существует, то несобственный интеграл называют расходящимся.

75

Материал: Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных. Дементьева А.М., Артыщенко С.В

2.2.Несобственные интегралы

Смотрите также: