Документ: Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных. Дементьева А.М., Артыщенко С.В, страницы 121-125

Если концы линии L – это точки A и B , то обозначают L как AB . Если кривая L замкнута, то в качестве концов дуги берут одну любую точку линии L . Криволинейный интеграл в случае замкнутой линии L обозначают

∫ f (x, y)dl .

L

Из определения криволинейного интеграла видно, что не для всякой функции f (x, y) интеграл существует.

Теорема. Если f (x, y) непрерывна в области, содержащей линию L , то ∫ f (x, y)dl существует.

L

Криволинейный интеграл I рода обладает свойствами, во многом схожими со свойствами определенного интеграла. Перечислим некоторые из них.

1. ∫ f (x, y)dl = ∫ f (x, y)dl ;


AB	BA

2.

∫kf (x, y)dl =k ∫ f (x, y)dl , k = const ;

AB

3. ∫( f1(x, y)+ f2 (x, y))dl = ∫ f1(x, y)dl + ∫ f2 (x, y)dl ;

AB

4. Если точка C АВ, то

∫ f (x, y)dl = ∫ f (x, y)dl + ∫ f (x, y)dl ;

AB

AC

CB

5. Если

f (x, y)

≤ M , для всех

(x, y) AB , то

∫ f (x, y)dl

≤ M l , где l – длина линии AB .

AB

3.3.2. Вычисление криволинейного интеграла I рода

Пусть L – это график функции

y = g(x), где (x, y) [a,b]. Обозначим

левый конец L через A(a, g(a)), а правый - через B(b, g(b)), рис. 3.42.

Предположим,

что

функция

y

g(x) имеет на [a b;]

непрерывную

производную g (x). Рассмотрим

y = g(x)

′

L

B

∫ f (x, y)dl , где f (x, y)

–непрерывна

M

L

A

в области, содержащей L . При

наших предположениях

∫ f (x, y)dl

a

x

L

0

b x

Рис. 3.42

121

существует.
Для	его	вычисления		y
Для	его	вычисления
составим			сначала
составим			сначала
интегральную			сумму			B
n		Для	этого			Mn
Sn = ∑ f (Pi )∆li .		Для	этого		M1	Mn-1
i=1					M1
			M 0 (A),		A M0
разобьем АВ точками			M 0 (A),		A M0
M1, ,M n (B) на		n	частей,	0	x0 x1	xn-1 xn
рис. 3.43.				0	a	b x
рис. 3.43.						Рис. 3.43
Обозначим		абсциссы				Рис. 3.43
точек Mi	через xi	(i = 0, ,n).

Точки x0 = a , x1, , xn = b разобьют отрезок [a b;] оси Ox на n частей. Для составления интегральной суммы Sn нужно найти длины ∆li кусков Mi−1Мi и выбрать на этих кусках точки Рi соответственно (i = 0, ,n). Найдем сначала длины ∆li , для чего рассмотрим функцию S(x), определяющую для каждого x [a;b] длину дуги куска кривой L от точки A до точки M (x, g(x)),

т.е. S(x)= lAM (рис. 3.44).

y
	M	y = g(x)	B
A		y = g(x)	B
A

0	a	x	b	x
		Рис. 3.44

Ранее эта функция рассматривалась,

y

	y = g(x)		B
	Mi-1	Mi	B
	Mi-1
	Pi
A
0 a	xi-1 ci	xi	b x
	Рис. 3.45

и было установлено, что из дифференцируемости функции g(x) следует дифференцируемость функции S(x), при этом

S (x)=			.
	1+(g (x))
′	′	2
Рассмотрим произвольный
кусок Mi−1Мi	кривой		AB
(рис. 3.45).
Видно, что длина ∆li			этого

122

куска	вычисляется с помощью функции		S(x), а	именно:
∆li = lAMi	− lAMi−1 = S(xi )− S(xi−1 ).	Разность	S(xi )− S(xi−1 )	можно

преобразовать по формуле Лагранжа: S(xi )− S(xi−1 )= S′(ci )(xi − xi−1 ), где ci											–
некоторая	точка	из	интервала			( xi−1, xi ).		Таким		образом,
∆li = S′(ci )(xi	− xi−1 )= S′(ci )∆xi ( ∆xi =xi −xi−1 ) и с						учетом		формулы (3.54)
окончательно имеем
			∆li =			∆xi .				(3.55)
			∆li =	1 + g′(ci )		∆xi .				(3.55)
Теперь	выберем	на	куске	Mi−1Мi	кривой		точку	Pi	так,	чтобы	ее

абсцисса была равна ci , участвующему в формуле (3.55), т.е. Pi (ci ; g(ci )). При таком выборе точек Pi (i =1, ,n ), учитывая (3.55), интегральная сумма

Sn определится по формуле
Sn = ∑n	f (Pi )∆li = ∑n f (ci ; g(ci ))		∆xi .
		1 + (g′(ci ))2		(3.56)
i=1	i=1

Проведем процесс неограниченного измельчения разбиения кривой AB , что приведет к неограниченному измельчению разбиения отрезка [a b;]

оси Ox (действительно, если max ∆li → 0 , то max ∆xi → 0 ).
1≤i≤n	1≤i≤n
При этом для каждого разбиения составляем интегральную сумму
так, как мы это сделали, получая формулу (3.56). Тогда
lim	Sn = ∫ f (x, y)dl
n→∞
max ∆li →0	AB
1≤i≤n

(предел не зависит от выбора точек Pi ). Иными словами, из (3.56) следует, что

∫ f (x, y)dl = limn→∞		n
		n
		∑ f (ci ; g(ci )) 1+(g′(ci ))2 ∆xi .				(3.57)
	max ∆xi →0	i=1
AB	max ∆xi →0	i=1
AB	1≤i≤n
Под знаком предела в правой части (3.57) стоит интегральная сумма
n						на [a b;].
n				′
∑F(ci )∆xi для	функции	F(x)= f (x; g(x))		′	2		Из
∑F(ci )∆xi для	функции	F(x)= f (x; g(x))	1 + (g (x))				Из
i=1		f (x, y) и g(x)					F(x)
предположений о	функциях	f (x, y) и g(x)	следует,		что	функция	F(x)

непрерывна на [a;b] и, следовательно, существует ∫b F(x)dx . По определению

		a
b		n
∫F(x)dx = limn→∞		∑F(ci )∆xi .
a	max ∆хi →0	i=1
	1≤i≤n
Правая часть последнего равенства совпадает с правой частью (3.57),
из чего следует совпадение	левых	частей этих равенств, т.е.

123

	b
	b					′
∫ f (x, y)dl =∫F(x)dx или, т.к. F(x)= f (x; g(x))					1	′	2	получаем
∫ f (x, y)dl =∫F(x)dx или, т.к. F(x)= f (x; g(x))					1	+ (g (x)) ,		получаем
	a
AB	a
AB
формулу	b
	b
	∫ f (x, y)dl =∫ f (x; g(x))	1	′	2				(3.58)
	∫ f (x, y)dl =∫ f (x; g(x))	1	+ (g (x))		dx .			(3.58)

		a
	AB	a
	AB

Формула (3.58) позволяет вычислить криволинейный интеграл с помощью определенного.

		Пример 3.15.								Вычислить														∫xydl ,						где				AB		-	дуга			параболы					y = x2 ,

A(0,0), B(					2,2).																		AB
A(0,0), B(					2,2).																											f (x, y)= xy ,							g(x)= x2 ,						a = 0
		Применим							формулу						(3.58).										У		нас					f (x, y)= xy ,							g(x)= x2 ,						a = 0		–
									A,	b =																								B . Найдем							′			2	′
абсцисса точки												2					– абсцисса точки																											2	′		и

																																							g (x)= (x ) = 2x
																								; f (x, g(x))
		′		2							2
				2		=		1			2					1 + 4x						2												получается подстановкой													в
1 + (g (x))						=		1	+ (2x) =							1 + 4x																		получается подстановкой													в
f (x, y)= xy						функции						g(x)= x2											вместо							у,				т.е.		f (x, g(x))= x x2 = x3 . По
формуле (3.58) имеем

																																	2
																			2
																			2															x2		1 + 4x2 xdx =
										∫xydl = ∫x3													1+4x2					dx = ∫						x2		1 + 4x2 xdx =
															0																	0
										AB					0																	0
									делаем замену 1 + 4x2 = t,
									делаем замену 1 + 4x2 = t,
									x2 = t −1,2xdx = dt																, xdx				= dt			;
												4												4						8						9
						=		меняем пределы интегрирования:																											= ∫t −1					t dt		=
									при x = 0 t =1 + 4 02 =1,																											1	4		8
									при x = 0 t =1 + 4 02 =1,
									при x =									t =1 + 4											2 = 9
									при x =						2			t =1 + 4									2		2 = 9
		9	3				1							5							3
	1	9	3				1			1			2t	2						2t	2			9		1				2	(243 −1)−						2						149			29
	1		2				2			1			2t							2t				9		1				2							2						149			29
=	32	∫ t		− t				dt =		32		5					−			3				1	=	32				5							3	(27	−1)			=	60		= 2	60	.
	32	1								32		5								3				1		32				5							3						60			60

Если линия L

y

D d

x = h(y)

c	C
0

Рис. 3.46

является графиком функции x = h(y) для y [c,d] (рис. 3.46) и h(y) имеет непрерывную на [c,d] производную h′(y), то для непрерывной на L

(CD ) функции f (x, y)

x

124

	d
∫ f (x, y)dl =∫ f (h(y), y)		1	′	2	(3.59)
∫ f (x, y)dl =∫ f (h(y), y)		1	+ (h (y)) dy .		(3.59)
	c
CD

Формула (3.59) доказывается так же как (3.58).

		Пример		3.16.	Вычислить
y	C	∫(2x + 3y)dl ,	где	L – ломаная ABC -
5	C	∫(2x + 3y)dl ,	где	L – ломаная ABC -
5		L
		L

A(1;1),

B(1;3), C(3;5), рис.3.47.

В

3

Ломаная

состоит

из кусков

1

А

разных прямых,

ее нельзя описать одной

0

элементарной функцией. Воспользуемся

x

1

3

2

свойством криволинейного интеграла:

Рис. 3.47

∫(2x + 3y)dl = ∫(2x + 3y)dl + ∫(2x + 3y)dl .

ABC

AB

BC

Вычислим каждое слагаемое отдельно. Отрезок AB – график функции

x =1 при

y [1,3], поэтому первое слагаемое вычислим по формуле (3.59):

h(y)=1, c =1, d = 3,

f (x, y)= 2x + 3y ,

f (h(y), y)= 2 1 + 3y = 2 + 3y

(вместо x

в f (x, y)

подставили

′

2

+ 0

2

=1. Итак,

h(y)=1), h (y)=1 = 0,

1 + (h (y)) = 1

по формуле (3.59)

∫(2x + 3y)dl = ∫3 (2 + 3y) 1 dy

	1
AB

Теперь вычислим второе проходящей через точки B(1,3)

		y	2	3	= 2(3 −1)+	3	(3	2	2	)= 4 +12 =16.

	2y + 3
									−1
=		2		1		2

слагаемое. Отрезок BC – это кусок прямой, и C(3,5). Составим уравнение этой прямой в

виде

y − y1

=

x − x1

, где

(x , y )

– это точка

B (1,3), а (x , y

) – это точка

y2 − y1

x2 − x1

1

2

C(3,5). Получим

y − 3

=

x −1

,

или

y − 3

=

x −1

, или

y − 3 = x −1, т.е.

5 − 3

3 −1

2

y = x + 2. Итак,

BC – это график функции y = x + 2, где x [1,3]. Вычисляем

∫(2x + 3y)dl

по формуле (3.58):

g(x)= x + 2 , a =1,

b = 3,

g (x)= (x + 2)

′

=1,

′

BC

′

2

=

= 2 . Функцию f (x, g(x))

получим,

подставляя

в

1 + (g (x))

1 +1

f (x, y)= 2x + 3y

функцию

g(x)= x + 2

вместо

y ,

т.е.

f (x, g(x))= 2x +3(x +2) = 5x +6. По формуле (3.58)

∫(2x

3

5x

2

3

=

+ 3y)dl = ∫(5x + 6) 2dx = 2

2

+ 6x

1

BC

1

125

Материал: Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных. Дементьева А.М., Артыщенко С.В

Смотрите также: