Документ: Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных. Дементьева А.М., Артыщенко С.В, страницы 131-135

b

∫xdl = ∫0 1dy = 0 ,

OB

0

b

y2

b

b2

∫ydl = ∫y 1dy =

0

=

.

2

OB

0

Подставим найденные значения в интегралы по ломаной AOB :

∫xdl =

а2

,

∫ydl

=

b

2

.

2

AOB

Тогда по формулам (3.66)

xc =

a2

, yc =

b2

.

2(a + b)

y

Например, при

a = 2 , b = 4

xc =

4

=

1

,

2(2 + 4)

3

4

yc =

16

4

(рис. 3.51).

= 3

2(2 + 4)

	С		Криволинейный интеграл I рода (по
1			дуге) рассматривается и для пространственных
0	1	x	кривых. Подынтегральная функция зависит от
0	1	x	трех переменных. Обозначается такой интеграл
	2		трех переменных. Обозначается такой интеграл
	Рис. 3.51		∫ f (x, y, z)dl .	(3.70)

L

Определение интеграла (3.70) дается по формуле, аналогичной (3.53), в которой все участвующие точки имеют три координаты. Можно вычислить интеграл (3.70), переходя к определенному интегралу, если линия L задана параметрически

x = x(t),

y = y(t),z = z(t),

где t [t1,t2 ]. Если функции x(t), y(t), z(t)				и		f (x, y, z) достаточно хорошие,
то справедлива формула
	t2
	t2	′	2			′	2	′	2	(3.71)
		′	2			′	2	′	2
∫ f (x, y, z)dl = ∫ f (x(t), y(t), z(t)) (x (t))					+ (y (t))			+ (y (t)) dt .
L	t1

131

Моменты и центр масс для пространственной линии находятся по формулам, аналогичным формулам, полученным ранее для случая плоской кривой. Например, если ρ(x, y, z) – линейная плотность линии L , то

m = ∫ f (x, y, z)dl

		L
( m – масса линии). Если линия однородна, то
	∫xdl		∫ydl		∫zdl
xc =	L	, yc =	L	, zc =	L	,
xc =	l	, yc =	l	, zc =	l	,
	l		l		l

где C(xc , yc , zc ) – центр масс линии L , а l – ее длина.

3.4.Криволинейные интегралы II рода (по координатам)

3.4.1.Определение криволинейного интеграла II рода

Пусть на плоскости xOy дана кривая L и на ней две точки C и B . Пусть материальная точка перемещается по L от точки C к точке B под

действием

силы F . При этом сила

F переменная, т.е. в каждой

точке

M (x, y) F = F(M )= F(x, y), рис. 3.52.

Обозначим проекции силы

y

F на оси Ox и

Oy через

B

X = X (x, y) и Y =Y (x, y), тогда

M1

F = X (x, y)i +Y (x, y)j .

M2

C

Найдем

работу

F

A,

0

x

совершенную

силой

при

Рис. 3.52

перемещении точки по кривой L от

C к B .

F

При прямолинейном перемещении по вектору s

постоянная сила

совершает

работу A = F s

(скалярное произведение

вектор-силы F и

вектора перемещения s ).

Используем этот факт следующим образом:

заменим исходную задачу близкой к ней, в которой будем считать силу

F

кусочно-постоянной, а перемещение – кусочно-прямолинейным. Для этого разобьем кривую CB произвольными точками M 0 (C), M1, ,M n (B) на n

частей, выберем в каждой части Мi−1Mi точку Pi (ζi ,ηi ), вычислим в этой точке силу

F = F(Pi )= F(ζi ,ηi ) (i =1, ,n ), рис. 3.53.

132

y

B

M1 Mi-1 Mi

		M0
			C
			C


	0					x
	0			Рис. 3.53		x


Будем считать, что точка перемещается по ломаной					M 0M1 M n под

действием силы, постоянной на каждом отрезке Mi−1Mi ломаной. При этом

на отрезке Mi−1Mi сила F = F(Pi )= F (ζi ,ni ). Работа по перемещению точки

из C в B по ломаной складывается из работ по перемещению точки на

каждом отрезке

ломаной. Очевидно, при перемещении

= Mi−1Mi под

∆si

действием силы F = F(Pi ) совершается работа Ai :

Ai = F(Pi )=

.

(3.72)

∆si

Учитывая,

что

=

={xi − xi−1; yi

− yi−1}={∆xi ,∆yi },

а

∆si

Mi−1Mi

F(Pi )={X (Pi );Y (Pi )}

((xi , yi ) – координаты точки

Mi , i =1, ,n ),

можно

найти скалярное произведение векторов в формуле (3.72) через координаты

векторов

– сомножителей. Действительно, известно, что

для

векторов

a ={a

x

,a

y

}и b ={b

x

,b

y

} скалярное произведение a b = a b + a

b

,

поэтому

x x

y

в формуле (3.72)

Ai = F(Pi )

= X (Pi )∆xi +Y (Pi )∆yi .

(3.73)

∆si

Просуммировав

Ai (i =1, ,n ), получим совершенную

работу в

построенной нами «близкой» задаче. Если разбиение линии CB мелкое, то можно считать, что искомая работа переменной силы близка к найденной сумме:

n	n	)∆xi +Y (Pi )∆yi ),
A ≈ ∑Ai = ∑(X (Pi		)∆xi +Y (Pi )∆yi ),	(3.74)
i=1	i=1

причем это равенство тем точнее, чем мельче разбиение дуги CD . Проведем процесс неограниченного измельчения разбиения дуги CD . Это значит, что строится последовательность разбиений CD на n частей, в которой n → ∞

и ∆si → 0 (i =1, ,n ) (т.е. ∆xi → 0 и ∆yi → 0). Для каждого разбиения

вычисляется приближенное значение работы A по формуле (3.74). Если последовательность приближенных значений стремится к некоторому пределу, то этот предел естественно считать равным искомой работе A.

133

Иными словами,

A = lim		∑(X (Pi	)∆xi +Y (Pi )∆yi ) .	(3.75)
		n
n→∞		→∞ i=1
max ∆x	∆y	→∞ i=1
i	i
1≤i≤n

Рассмотренная задача приводит к понятию криволинейного интеграла II рода.

Пусть на кривой L ( AB ) заданы две функции R(x, y) и Q(x, y). Разобьем L на n произвольных частей точками M0 (A), M1, ,M n (B). Выберем в каждом куске Mi−1Mi линии L произвольную точку Pi (ζi ,ηi ) и

вычислим в этой точке значения функций R(ζi ,ηi ) и Q(ζi ,ηi ).		Обозначим
координаты точки Mi	через ( xi , yi ) и разности xi − xi−1 , yi − yi−1	через ∆xi ,
∆yi . Составим сумму:
Sn	= ∑n (R(ζi ,ηi )∆xi + Q(ζi ,ni )∆yi ).	(3.76)
	i=1

Сумму (3.76) называют интегральной суммой для функций R(x, y) и Q(x, y) на линии L . Проведем процедуру неограниченного измельчения разбиения дуги AB , вычисляя для каждого разбиения сумму Sn . Если при этом последовательность сумм Sn стремится к конечному пределу, не зависящему от способов разбиения дуги L и выбора точек Pi (i =1, ,n ), то этот предел называют криволинейным интегралом II рода ( по координатам) от пары функций R(x, y) и Q(x, y) по кривой L () и обозначают

∫R(x, y)dx + Q(x, y)dy .

L

Иными словами,

∫R(x, y)dx + Q(x,

L

y)dy = lim		∑(R(ζi ,ηi )∆xi +Q(ζi ,ηi )∆yi )	. (3.77)
		n
n→∞		→0 i=1
max ∆x	∆y	→0 i=1
i	i
1≤i≤n

Сравнивая (3.77) и (3.75), можно работу A записать в виде криволинейного интеграла II рода:

A = ∫X (x, y)dx +Y (x, y)dy .	(3.75')
L

Справедливо утверждение: если функции R(x, y) и Q(x, y) непрерывны в области, содержащей кусочно-гладкую кривую L , то ∫R(x, y)dx + Q(x, y)dy

L

существует.

Из свойств криволинейного интеграла II рода сформулируем лишь два.

134

Свойство 1.

∫R(x, y)dx + Q(x, y)dy = − ∫R(x, y)dx + Q(x, y)dy .


AB	BA

Это свойство вытекает из (3.77), так как в интегральной сумме при

изменении направления на линии L
меняют знаки ∆xi и ∆yi .					B
меняют знаки ∆xi и ∆yi .				С	B
Свойство 2.



Пусть на L между концами А
Пусть на L между концами А		А
и B взята точка C (рис. 3.54).			Рис. 3.54
и B взята точка C (рис. 3.54).
Тогда
Тогда
∫Rdx + Qdy = ∫Rdx + Qdy + ∫Rdx + Qdy .

AB	AC		CB

Это свойство объясняется так же, как аналогичное свойство определенных интегралов.

Если L замкнута, то интеграл обозначается знаком ∫ , причем в таком

обозначении начальная и конечная точка L одна и та же (любая на L ) и движение от начала к концу совершается против часовой стрелки. Такое направление движения называют положительным обходом. Если вычисляется криволинейный интеграл по замкнутому контуру L и направление движения по контуру по часовой стрелке, то перед интегралом

ставят знак (–): − ∫ .

Замечание. В частных случаях одна из функций R(x, y), Q(x, y) может быть нулевой и соответственно под знаком интеграла останется одно

слагаемое – ∫R(x, y)dx или	∫Q(x, y)dy .
L	L

3.4.2 Вычисление криволинейного интеграла II рода

Видно, что криволинейный интеграл II рода зависит от функций R(x, y), Q(x, y) и линии L . Ранее мы видели, что криволинейный интеграл I

рода (по дуге) при различных способах задания L преобразуется в определенный интеграл различными формулами. Криволинейный интеграл II рода также можно преобразовать в определенный интеграл с учетом способа задания L .

Пусть L ( AB ) – это график функции y = g(x), причем абсциссы точек A и B соответственно равны a и b. Пусть g(x) непрерывно дифференцируема при x [a,b] и функции R(x, y) и Q(x, y) непрерывны в области, содежащей L . Тогда ∫Rdx + Qdy существует.

AB

135

Материал: Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных. Дементьева А.М., Артыщенко С.В

Смотрите также: