Документ: Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных. Дементьева А.М., Артыщенко С.В, страницы 31-35

например, теоремой 1.2. Раскроем скобки и приведем подобные в правой части равенства:

x2	+ 3 = (A + B)x2		+ (5A + C)x +10A.	(1.16)
Приравняем коэффициенты в левой			и правой частях равенства	при x2
(1 = A + B ), при x (0 =	5A + C)	и свободные члены (3 = 10 A). Получим
систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:
	A + B =1,

	5A + C = 0,
		10A = 3.
		10A = 3.

Решение системы: A =103 , B =107 , C = −32 . Так как при найденных значениях

A, B, C коэффициенты при одинаковых степенях x в равенстве (1.16) совпадают, то из теоремы 1.2 следует, что числители левой и правой частей равенства (1.15) тождественно совпадают и, значит,

3

7

x

3

x2 + 3

−

.

= 10

+

10

2

x(x2 + 5x +10)

x

x2 + 5x +10

Пример 1.32. Разложить дробь

x2

+ 2

на простейшие.

(x +1)3 (x − 2)

Применим метод неопределенных коэффициентов:

x2 + 2

A

B

(x +1)3 (x − 2)= (x +1)3

+ (x +1)2 + x +1

+ x − 2 .

1

2

Приводя правую часть к общему знаменателю и приравнивая числители левой и правой частей, имеем

x2 + 2 = A(x − 2)+ A1 (x +1)(x − 2)+ A2 (x +1)2 (x − 2)+ B(x +1)3

или, раскрывая скобки и приводя подобные, получим

x2 + 2 = x3 (A2 + B)+ x2 (A1 + 3B)+ x(A − A1 −3A2 + 3B)+ (− 2A − 2A1 − 2A2 + B).

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получим систему уравнений для определения коэффициентов:

	0 = A2 + B,
	1 = A1 + 3B,
	1 = A1 + 3B,
	0 = A − A1 − 3A2 + 3B,
	0 = A − A1 − 3A2 + 3B,
2 = −2A − 2A		− 2A	+ B.
	1	2

31

Решая эту систему, найдем

A = −1, A =

1

, A = −

2 ,

B = 2 .

1

3

2

9

В результате получаем разложение

x2 + 2

1

2

=

−

+

−

+

.

(x +1)3 (x − 2)

(x +1)3

3(x +1)2

9(x +1)

9(x − 2)

Пример 1.33. Вычислить интеграл ∫

x2 + 2

dx .

(x +1)3 (x − 2)

Разложим подынтегральную дробь на простейшие и применим метод неопределенных коэффициентов (см. пример 1.32). Получим

∫

x2

+ 2

dx = − ∫

dx

1

∫

dx

2

∫

dx

2

∫

dx

+

−

+

=

3

(x

2

9

x +1

9

x −

2

(x +1) (x − 2)

(x +1)

+1)

1 1

1

2

x +

2

x − 2

+ C = −

2x −1

2

x − 2

+ C .

=

−

− 9 ln

1

+

9 ln

+

9 ln

2

(x +1)2

3(x +1)

6(x +1)2

x +1

Пример 1.34. Вычислить интеграл ∫

xdx

.

(x

2

+1)(x −1)

Разложим подынтегральную дробь на простейшие:

x

Ax + B

C

D

(x2 +1)(x −1)2 =

(x2 +1)+

+

.

(x −1)2

x −1

Приведем дроби к общему знаменателю и приравняем числители: x = (Ax + B)(x −1)2 + C(x2 +1)+ D(x −1)(x2 +1).

Раскрыв скобки и приведя подобные, получим

x = x3 (A + D)+x2 (B − 2A + C − D)+ x(A − 2B + D)+ (B + C − D).

Далее, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, будем иметь следующую систему уравнений:

	A + D = 0,

B − 2A + C − D = 0,
	A − 2B + D =1,
	A − 2B + D =1,
	B + C − D = 0.
	B + C − D = 0.
Решая эту систему, находим
A = 0, B = −1 , C =		1 ,	D = 0 .
	2	2

32

Таким образом,

1

x

0 x

−

0

1 1

2

.

(x2 +1)(x −1)2

=

+

= −

2

+

2

x2 +1

(x −1)2

x −1

x2 +1

(x −1)2

Поэтому

xdx

∫

= −

1

∫

dx

1

∫

dx

1

arctg x −

1

+ C .

2

+

= −

(x

2

+1)(x −

2

(x

2

+1)

2

(x

2

2(x −1)

1)

−1)

Пример 1.35. Вычислить интеграл ∫

x + 4

dx .

x3

+ 6x2 +11x + 6

Так как подынтегральная функция является правильной дробью, то ее следует представить в виде суммы простейших дробей. Для этого разложим знаменатель на множители, для чего найдем корни знаменателя. Легко видеть, что многочлен x3 + 6x2 +11x + 6 обращается в нуль при x = −1, поэтому он делится без остатка на x +1. Выполняя деление по правилу деления многочленов, получим

x3 + 6x2 +11x + 6 = (x +1)(x2 + 5x + 6)= (x +1)(x + 2)(x + 3).

Теперь
	x + 4	=	A	+	B	+	C	.
	x3 + 6x2 +11x + 6	=	x +1	+	x + 2	+	x + 3	.
	x3 + 6x2 +11x + 6		x +1		x + 2		x + 3

Приводя дроби к общему знаменателю и приравнивая числители, получим

x + 4 = A(x + 2)(x + 3)+ B(x +1)(x + 2)+ C(x +1)(x + 2).

Для отыскания неизвестных коэффициентов применим теорему 1.3. Т.к. для тождественного равенства многочленов степени не выше двух

(см. многочлены в левой и правой частях равенства) достаточно

совпадения их значений в трех различных точках, т.е. при трех

различных значениях

x, то уравняем значения в левой и правой части в

точках x = – 1, x

= –2, x = – 3. Для этого подставим эти значения по очереди в

правую и левую части последнего равенства.

Полагая x = −1,

имеем 3 = 2A,

т.е. A =

3 . Если x = −2, то

2 = −B , т.е. B = −2.

1 .

2

При x = −3 получим 1 = 2C , т.е. C =

Итак,

2

x + 4

1,5

− 2

0,5

=

+

,

откуда

x3 + 6x2 +11x + 6

x +1

x + 2

x + 3

x + 4

3

dx

1

dx

∫

dx =

∫

−

2∫

+

∫

=

x

3

+ 6x

2

+11x + 6

2

x +1

x + 2

2

x + 3

=

3 ln

x +1

− 2ln

x + 2

+

1 ln

x + 3

+ C .

2

33

Пример 1.36. Вычислить интеграл ∫			x5 +1			dx .
	x	4	−8x	2	+16

Обратите внимание на то, что под знаком интеграла стоит неправильная дробь. Следовательно, сначала необходимо выделить целую часть этой дроби. Разделив по правилу деления многочленов числитель на знаменатель, будем иметь

x5 +1	= x +	8x3 −16x +1	= x +	8x3 −16x +1	= x +	8x2 −16x +1	.
x4 −8x2 +16		x4 −8x2 +16		(x2 − 4)2
						(x − 2)2 (x + 2)2

Разложим теперь полученную правильную дробь на простейшие:

8x2 −16x +1	=	A		B		C		D
			+		+		+		.
(x − 2)2 (x + 2)2		(x − 2)2	+	x − 2	+	(x + 2)2	+	x + 2	.

Приводя дроби к общему знаменателю и приравнивая числители, получим

8x3 −16x +1 = A(x + 2)2 + B(x − 2)(x + 2)2 + C(x − 2)2 + D(x − 2)2 (x + 2).

Для отыскания неизвестных коэффициентов воспользуемся обеими

теоремами 1.2 и 1.3. Полагая x = 2, найдем 33 =16A, т.е. A = 33 ; при							x = −2,
				31 ; если		16
получим	− 31 =16C ,	т.е.	C = −	31 ; если	x = 0, то	1 = 4A −8B + 4C + 8D .
				16
Заменив A и C их значениями, получаем уравнение
1 = 33 −8B − 31 + 8D ,		или	−16B +16D =1.
4	4
Для того чтобы найти B и D, составим еще одно уравнение. Уравняем
коэффициенты при x3 , получим 8 = B + D . Решив систему уравнений
				B + D =8,
				16B +16D =1,
			−	16B +16D =1,

находим D =12932 , B =12732 . Окончательно получаем

x

5

+

1

33

+

127

−

31

+ 129

dx = x +

dx =

∫

2

x

−8x

+16

16(x

− 2)

32(x − 2)

16(x + 2)

32(x +

2)

x2

33

127

ln

x − 2

31

129

ln

x + 2

+ C .

=

−

+

2

16(x − 2)

32

16(x + 2)

32

34

1.8.Интегралы от некоторых иррациональных выражений

I. Рассмотрим интеграл ∫R(x, xmn , , xrs )dx , где R – рациональная функция

своих аргументов, т.е. функция, в которой с аргументами производятся лишь действия: сложение, умножение, деление и умножение на константу.

Пусть k – общий знаменатель дробей mn, ,rs или наименьшее общее кратное чисел n, ,s . Сделаем подстановку:

x = tk , dx = ktk −1dt ( mn k, , rs k - целые числа).

Тогда каждая дробная степень x выразится через целую степень t и, следовательно, подынтегральная функция преобразуется в рациональную функцию от t .

1

Пример 1.37. Вычислить интеграл ∫

x2

dx .

3

x4

+1

Общий знаменатель дробей

1 ,

3

равен 4; поэтому делаем подстановку

x = t4 ,

dx = 4t3dt , тогда

2

4

1

t2 (t3 +1)

x2

t2

3

t5 + t2 − t

2

t2

∫

dx = 4∫

t

dt

= 4∫

dt

= 4∫

−

dt =

3

t

3

+1

t

3

+1

t

3

+1

t

3

+1

x

4

+1

t2

t3

4

3t

2

= 4∫ t

−

dt = 4∫t

dt −

4∫

dt = 4

−

∫

dt =

t

3

+1

t

3

+1

3

t

3

+1

t

3

4

3

= 4

−

ln

t

3

+1

+ C

=

4

− ln

x

4

+1

3

x

+ C .

Пример 1.38. Вычислить интеграл ∫1 +6 3x xdx .

В подынтегральной функции присутствуют корни шестой и третьей степени. Наименьшее общее кратное чисел 3 и 6 равно 6. Поэтому вводим замену

x = t6 , dx = 6t5dt , 3 x = t2 .

Тогда

t

t6

∫

6

x

dx = ∫

6t5dt = 6∫

dt .

3

1 + t

2

1 + t

2

1 +

x

Поделив числитель на знаменатель по правилу деления многочленов, будем иметь

∫1 +6 3xxdx = ∫ t4 −t2 +1 −1 +1t2 dt = ∫t4 dt − ∫t2 dt + ∫dt − ∫1 +dtt2 =

35

Материал: Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных. Дементьева А.М., Артыщенко С.В

1.8.Интегралы от некоторых иррациональных выражений

Смотрите также: