Материал: Интегральные преобразования Фурье и Лапласа и их приложения к дифференциальным уравнениям. Теория вероятностей и элементы математической статистики. Бырдин А.П., Заварзин Н.В

Пример 12. Найти решение системы дифференциальных уравнений

при начальных условиях

Решение. Если считать, что и , то по теореме дифференцирования оригинала и (для краткости записи мы не пишем аргументы функций). Система операторных уравнений примет вид

или, после преобразования,

В результате мы получили систему алгебраических линейных уравнений относительно неизвестных изображений и Решая эту систему, находим

и, возвращаясь к оригиналам,

Операционный метод в равной мере применим и для решения систем уравнений с производными высших порядков.

Пример 13. Найти решение однородной системы

при начальных условиях

.

Решение. Система операторных уравнений запишется в виде

Эту систему решим при помощи определителей. Определитель системы равен

Вычислим его, опираясь на свойства определителей (сначала к первому столбцу прибавим оба остальных столбца, а затем из второй и третьей строк вычтем первую; в результате этих преобразований определитель не изменится):

= .

Вычислим определители

=

= 

=

Теперь находим изображения искомых решений:

Для перехода к оригиналам воспользуемся формулой, согласно которой:

Применяя теорему дифференцирования оригинала, находим .

Снова применяя эту же теорему, получим

Пример 14. Решить систему уравнений с заданными начальными условиями

, .

Решение. Пусть ; ; . Тогда, с учетом начальных условий, получим

; ; .

Переходя к изображениям запишем

Главный определитель этой системы равен

.

Вычислим вспомогательные определители

Тогда

Найдем оригиналы для полученных изображений. Для этого разложим имеющиеся дроби на простейшие, используя метод неопределенных коэффициентов

Переходя к оригиналам получим решение системы:

3. Событие и вероятность

3.1. Основные понятия. Определение вероятности

1. Понятие о случайном событии. Опыт, эксперимент, наблюдение явления называется испытанием. Испытаниями, например, являются бросание монеты, выстрел из винтовки, бросание игральной кости (кубика с нанесенными на каждую грань числом очков  от одного до шести).

Результат, исход испытания, называется событием. Событиями являются выпадение герба или цифры, попадание в цель или промах, появление того или иного числа очков на брошенной игральной кости.

Для обозначения событий используют большие буквы латинского алфавита: А, В, С и т.д.

Определение 1. Два события называют совместимыми, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании.

Пример 1. Испытание  однократное бросание игральной кости. Событие А  появление четырех очков. Событие В  появление четного числа очков. События А и В совместимые.

Определение 2. Два события называют несовместимыми, если появление одного из них исключает появление другого в одном и том же испытании.

Пример 2. Испытание  однократное бросание монеты. Событие А  выпадение герба, событие В  выпадение цифры. Эти события несовместимы, так как появление одного из них исключает появление другого.

Несовместимость более чем двух событий означает их попарную несовместимость.

Пример 3. Испытание  однократное бросание игральной кости. Пусть события A₁, А₂, А₃, А₄, А₅, А₆  соответственно выпадение одного очка, двух, трех и т.д. Эти события являются несовместимыми.

Определение 3. Два события А и В называются противоположными, если в данном испытании они несовместимы и одно из них обязательно происходит.

Событие, противоположное событию А, обозначают через .

Пример 4. Испытание  бросание монеты. Событие А  выпадение герба, событие В  выпадение цифры. Эти события противоположны, так как исходами бросания могут быть лишь они, и появление одного из них исключает появление другого, т.е. А = или = В.

Определение 4. Событие называют достоверным, если в данном испытании оно является единственно возможным его исходом, и невозможным, если в данном испытании оно заведомо не может произойти.

Пример 5. Испытание  извлечение шара из урны, в которой все шары белые. Событие А  вынут белый шар  достоверное событие; событие В  вынут черный шар  невозможное событие.

Заметим, что достоверное и невозможное события в данном испытании являются противоположными.

Определение 5. Событие А называют случайным, если оно объективно может наступить или не наступить в данном испытании.

Пример 6. Событие А₆  выпадение шести очков при бросании игральной кости  случайное. Оно может наступить, но может и не наступить в данном испытании.

Пример 7. Событие A₉₈  прорастание девяноста восьми зерен пшеницы из ста  случайное. Это событие может наступить, но, может быть, прорастет зерен больше или меньше.

Можно ли как-то измерить возможность появления некоторого случайного события? Другими словами, можно ли охарактеризовать эту возможность некоторым числом?

2. Классическое определение вероятности. Всякое испытание влечет за собой некоторую совокупность исходов - результатов испытания, т.е. событий. Во многих случаях возможно перечислить все события, которые могут быть исходами данного испытания.

Определение 6. Говорят, что совокупность событий образует полную группу событий для данного испытания, если его результатом обязательно становится хотя бы одно из них.

Приведем примеры полных групп событий: выпадение герба и выпадение цифры при одном бросании монеты; попадание в цель и промах при одном выстреле; выпадение одного, двух, трех, четырех, пяти и шести очков при одном бросании игральной кости.

Рассмотрим полную группу попарно несовместимых событий , связанную с некоторым испытанием. Предположим, что в этом испытании осуществление каждого

из событий U_i (i = 1,2, ..., п) равновозможно, т.е. условия испытания не создают преимущества в появлении какого-либо события перед другими возможными.

Определение 7. События , образующие полную группу попарно несовместимых и равновозможных событий, будем называть элементарными событиями.

Пример 8. Вернемся к опыту с подбрасыванием игральной кости. Пусть U_i  событие, состоящее в том, что кость выпала гранью с цифрой i. Как уже отмечалось (пункты 1, 2), события образуют полную группу попарно несовместимых событий. Так как кость предполагается однородной и симметричной, то события являются и равновозможными, т.е. элементарными.

Определение 8. Событие А называют благоприятству-ющим событию В, если наступление события А влечет за собой наступление события В.

Пример 9. Пусть при бросании игральной кости события  появление соответственно двух, четырех и шести очков и А  событие, состоящее в появлении четного числа очков; события благоприятствуют событию А.

Определение 9 (классическое определение вероятности).

Вероятностью Р(А) события А называют отношение числа элементарных событий, благоприятствующих событию А, к числу всех элементарных событий, т.е.

Пример 10. Вычислим вероятность выпадения герба при одном бросании монеты.

Решение. Очевидно, событие А  выпадение герба и событие В  выпадение цифры образуют полную группу несовместимых и равновозможных событий для данного испытания. Значит, здесь п = 2. Событию А благоприятствует лишь одно событие  само A, т.е. здесь т = 1. Поэтому .

Пример 11. Очевидно, что в опыте с игральной костью (см. пункт 2, пример 8) .