Материал: Интегральные преобразования Фурье и Лапласа и их приложения к дифференциальным уравнениям. Теория вероятностей и элементы математической статистики. Бырдин А.П., Заварзин Н.В

Пример 12. Найти вероятность того, что при бросании игральной кости выпадет число очков, делящееся на 2 (событие А).

Решение. Число элементарных событий здесь 6. Число благоприятствующих элементарных событий 3 (выпадение 2, 4 и 6). Поэтому .

Из приведенного классического определения вероятности вытекают следующие ее свойства.

1 . Вероятность достоверного события равна единице. Действительно, достоверному событию должны благоприятствовать все п элементарных событий, т.е. т = п и, следовательно, .

2. Вероятность невозможного события равна нулю. В самом деле, невозможному событию не может благоприятствовать ни одно из элементарных событий, т.е. т = 0, откуда .

3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Действительно, случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных событий. Поэтому в этом случае 0 < т < п и, значит, . Следовательно, 0 < Р(А) < 1 .

Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству .

3. Относительная частота. Статистическое определение вероятности. Классическое определение вероятности не является пригодным для изучения произвольных случайных событий. Так, оно неприемлемо, если результаты испытания не равновозможны. Например, при бросании неправильной игральной кости выпадение ее различных граней не равновозможно.

В таких случаях используется, так называемое, статистическое определение вероятности.

Пусть произведено п испытаний, при этом некоторое событие А наступило т раз (m п).

Определение 10. Число т называют абсолютной частотой (или просто частотой) события А, а отношение называют относительной частотой события А.

Пример 13. При транспортировке из 10 000 арбузов испортилось 26. Здесь т = 26  абсолютная частота испорченных арбузов, а  относительная.

Результаты многочисленных опытов и наблюдений помогают заключить: при проведении серий из п испытаний, когда число n сравнительно мало, относительная частота Р*(А) принимает значения, которые могут довольно сильно отличаться друг от друга. Но с увеличением п  числа испытаний в сериях  относительная частота приближается к некоторому числу Р(А), стабилизируясь возле него и принимая все более устойчивые значения.

Пример 14. Было проведено 10 серий бросаний монеты, по 1000 бросаний в каждой. Относительные частоты выпадения герба оказались равными 0,501; 0,485; 0,509; 0,536; 0,485; 0,488; 0,500; 0,497; 0,494; 0,484. Эти частоты группируются около числа 0,5.

Определение 11. (статистическое определение вероятно-сти). Вероятностью события А в данном испытании называют число Р(А), около которого группируются значения относительной частоты при больших п.

В условиях только что приведенного примера 2 указанная вероятность равна 0,5.

Пример 15. По официальным данным шведской статистики относительные частоты рождения девочек по месяцам 1935 г. характеризуются следующими числами (расположены в порядке следования месяцев, начиная с января): 0,486; 0,489; 0,490; 0,471; 0,478; 0,482; 0,462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473. Эти частоты группируются около числа 0,482.

Таким образом, относительная частота события приближенно совпадает с его вероятностью, если число испытаний достаточно велико. Имеется огромный опытный материал по проверке последнего утверждения. Укажем еще один такой пример с бросанием монеты.

Здесь относительные частоты незначительно отклоняются от числа 0,5, причем тем меньше, чем больше число испытаний. При 4040 испытаниях отклонение равно 0,008, а при 24 000  0,0005.

Пример 16. Чтобы знать, какова вероятность для данного станка изготовить годную деталь, поступают так: проверяют одну или несколько партий деталей, изготовленных станком, подсчитывают число годных деталей, вычисляют относительную частоту и в соответствии с определением вероятность принимают равной этой частоте. Допустим, при проверке партии из 200 деталей 190 оказались годными. Тогда вероятность наудачу выбранной детали быть годной

Вероятность найдена приближенно, так как 0,95  это относительная частота.

Аналогичным образом поступают, например, при определении процента всхожести семян.

4. Основные формулы комбинаторики. Комбинаторика - раздел математики, изучающий вопросы о том, сколько комбинаций определенного типа можно составить из данных предметов (элементов).

Как при решении задач с использованием классического определения вероятности, так и в дальнейшем нам понадобятся некоторые формулы комбинаторики. Приведем наиболее употребительные из них.

Определение 12. Размещениями из п различных элементов по т элементов ( ) называют комбинации, составленные из данных п элементов по т элементов, которые отличаются либо самими элементами, либо порядком элементов.

Например, из трех элементов a, b, с можно составить по два элемента следующие размещения:

ab, ас, bс, ba, ca, cb.

Число различных размещений из п элементов по т элементов определяется с помощью формулы

Пример 17. Сколько можно составить сигналов из 6 флажков различного цвета, взятых по 2?

Решение. Искомое число сигналов .

Определение 13. Перестановками из п различных элементов называют размещения из этих п элементов по п.

Как видно из определений 1 и 2, перестановки можно считать частным случаем размещений при т = п. Следовательно, число всех перестановок из п элементов вычисляется по формуле

Пример 18. Для лечения заболевания применяют три лекарства. Полагают, что последовательность, в которой применяют лекарства, оказывает существенное влияние на результат лечения. Сколько имеется различных порядков назначения этих лекарств?

Решение. Имеется различных порядков назначения трех лекарств.

Определение 3. Сочетаниями из п различных элементов по т элементов называются комбинации, составленные из данных п элементов по т элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом.

Отметим разницу между сочетаниями и размещениями: в первых не учитывается порядок элементов.

Число сочетаний из п элементов по т элементов вычисляется по формуле

или

(1)

Отметим особенность формулы (1):

Пример 19. В лабораторной клетке содержат трех белых и трех коричневых мышей. Найти число способов выбора двух мышей, если они могут быть любого цвета.

Решение. В данном случае цвет не существен. Поэтому имеется способов, которыми две мыши можно выбрать из шести.

Приведем, наконец, один из примеров применения формул комбинаторики к нахождению вероятности события.

Пример 20. Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Какова вероятность того, что номер набран правильно?

Решение. Две последние цифры можно набрать способами, а благоприятствовать событию М (цифры набраны правильно) будет только один способ. Поэтому

3.2. Свойства вероятности

1. Теорема сложения вероятностей несовместимых событий.

Определение 1. Суммой событий А и В называют событие С = А + В, состоящее в наступлении, по крайней мере, одного из событий А или В.

Пример 1. Испытание  стрельба двух стрелков (каждый делает по одному выстрелу). Событие А  попадание в мишень первым стрелком, событие В  попадание в мишень вторым стрелком. Суммой событий А и В будет событие С = А + В, состоящее в попадании в мишень, по крайней мере, одним стрелком.

Аналогично суммой конечного числа событий А₁, A₂, ..., A_k называют событие А = А₁ + А₂ + ... + A_k, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А_i (i = 1,..., k).

Определение 2. Произведением событий А и В называют событие С = АВ, состоящее в том, что в результате испытания произошло и событие А и событие В.

Аналогично произведением конечного числа событий А₁, А₂, ... , A_k называют событие А = А₁А₂ ... A_k , состоящее в том, что в результате испытания произошли все указанные события.

В условиях предыдущего примера произведением событий А и В будет событие С = АВ, состоящее в попадании в мишень двух стрелков.

Из определения 2 непосредственно следует, что АВ = ВА.

Теорема. Вероятность суммы двух несовместимых событий А и В равна сумме вероятностей этих событий:

(1)

Совершенно так же теорема формулируется для любого конечного числа попарно несовместимых событий.

Следствие. Сумма вероятностей противоположных событий А и равна единице:

(2)

Так как события А и несовместимы, то по сформулированной выше теореме Р(А) + Р( ) = Р(А+ ). Событие А + есть достоверное событие (ибо одно из событий А или произойдет). Поэтому Р(А+ ) = 1, что и приводит к искомому соотношению (2).

Пример 2. В урне 10 шаров: 3 красных, 5 синих и 2 белых. Какова вероятность вынуть цветной шар, если вынимается один шар?

Решение. Вероятность вынуть красный шар , синий . Так как события А и В несовместимы, то по доказанной выше теореме

.

Пример 3. На клумбе растут 20 красных, 30 синих и 40 белых астр. Какова вероятность сорвать в темноте окрашенную астру, если срывают одну астру?