Материал: Интегральные преобразования Фурье и Лапласа и их приложения к дифференциальным уравнениям. Теория вероятностей и элементы математической статистики. Бырдин А.П., Заварзин Н.В

Решение. Искомая вероятность равна сумме вероятностей сорвать красную или синюю астру, т. е.

2. Теорема умножения вероятностей.

Определение 3. Два события А и В называют независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того, появилось другое событие или нет¹. В противном случае события А и В называют зависимыми.

Пример 4. Пусть в урне находятся 2 белых и 2 черных шара. Пусть событие А  вынут белый шар. Очевидно, . После первого испытания вынутый шар кладется обратно в урну, шары перемешиваются и снова вынимается шар. Событие В  во втором испытании вынут белый шар – также имеет вероятность , т.е. события А и В  независимые.

Предположим теперь, что вынутый шар в первом испытании не кладется обратно в урну. Тогда если произошло событие А, т.е. в первом испытании вынут белый шар, то вероятность события В уменьшается ; если в первом испытании был вынут черный шар, то вероятность события В увеличивается .

Итак, вероятность события В существенно зависит от того, произошло или не произошло событие А, в таких случаях события А и В  зависимые.

Определение 4. Пусть А и В  зависимые события. Условной вероятностью Р_А(В) события В называют вероятность события В, найденную в предположении, что событие А уже наступило.

Так, в примере 1 . Заметим, что если события А и В независимы, то Р_А(В) = Р(В).

Теорема 1. Вероятность произведения двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие уже наступило:

Р(АВ)=Р(А)Р_А(В). (3)

Замечание. Применив формулу (3) к событию ВА, получим

Р(ВА)=Р(В)Р_В(А). (4)

Так как АВ = ВА (см. п. 1), то, сравнивая (3) и (4), получаем, что

Пример 5. В условиях примера 1 берем тот случай, когда вынутый шар в первом испытании не кладется обратно в урну. Поставим следующий вопрос: какова вероятность вынуть первый и второй раз белые шары?

Решение. По формуле (3) имеем

Пример 6. Предположим, что вероятности встретить реку, загрязняемую постоянным фактором Р(А), временным фактором Р(В) и обоими факторами Р(АВ), равны соответственно 0,4; 0,1 и 0,05. Найти:

1) вероятность того, что река, загрязняемая временным фактором, будет к тому же загрязнена и постоянным фактором, т.е. Р_В(А);

2) вероятность того, что река, загрязняемая постоянным фактором, будет еще загрязнена и временным фактором, т.е. Р_А(В).

Решение. Из формулы (4) находим откуда

Аналогично, используя формулу (3), находим

Теорема 2. Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий²:

(5)

Действительно, если А и В  независимые события, то Р_А(В) = Р(В) и формула (3) превращается в формулу (5)

Пример 7. Вероятность выживания одного организма в течение 20 мин Р = 0,7. В пробирке с благоприятными для существования этих организмов условиями находятся только что родившиеся 2 организма. Какова вероятность того, что через 20 минут они будут живы?

Решение. Пусть событие А  первый организм жив через 20 мин, событие В  второй организм жив через 20 мин. Будем считать, что между организмами нет внутривидовой конкуренции, т.е. события А и В независимы. Событие, что оба организма живы, есть событие АВ. По теореме 2 получаем Р(АВ) = = 0,49.

3. Теорема сложения вероятностей совместимых событий.

Теорема. Вероятность суммы двух совместимых событий А и В равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В)  Р(АВ). (6)

Замечание. Если события А и В несовместимы, то их произведение АВ есть невозможное событие и, следовательно, Р(АВ) = 0, т.е. формула (1) является частным случаем формулы (6).

Пример 8. В посевах пшеницы на делянке имеется 95% здоровых растений. Выбирают два растения. Определить вероятность того, что среди них хотя бы одно окажется здоровым.

Решение. Введем обозначения для событий: А₁  первое растение здоровое; А₂  второе растение здоровое; A₁ + А₂  хотя бы одно растение здоровое.

Так как события А₁ и А₂ совместимые, то согласно формуле (6)

4. Формула полной вероятности.

Теорема. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из п попарно несовместимых событий В₁, В₂, ... , В_n, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:

(7)

(формула полной вероятности).

Пример 9. Для приема зачета преподаватель заготовил 50 задач: 20 задач по дифференциальному исчислению, 30 по интегральному исчислению. Для сдачи зачета студент должен решить первую же доставшуюся наугад задачу. Какова вероятность для студента сдать зачет, если он умеет решить 18 задач по дифференциальному исчислению и 15 задач по интегральному исчислению?

Решение. Вероятность получить задачу по дифференциальному исчислению (событие В₁) равна Р(В₁) = 0,4, по интегральному исчислению (событие В₂)  Р(В₂) = 0,6. Если событие А означает, что задача решена, то (А) = 0,9, (А) = 0,5. Теперь по формуле (7) имеем Р(А) =

Пример 10. Имеются три одинаковых по виду ящика. В первом находятся две белые мыши и одна серая, во втором  три белые и одна серая, в третьем  две белые и две серые мыши. Какова вероятность того, что из наугад выбранного ящика будет извлечена белая мышь?

Решение. Обозначим В₁  выбор первого ящика, В₂  выбор второго ящика, В₃  выбор третьего ящика, А  извлечение белой мыши.

Так как все ящики одинаковы, то P(B₁)=Р(В₂)=Р(В₃) Если выбран первый ящик, то . Аналогично , . Наконец, по формуле (7) получаем

5. Формула Бейеса. Пусть в условиях рассуждения, относящегося к формуле полной вероятности, произведено одно испытание, в результате которого произошло событие А. Спрашивается: как изменились (в связи с тем, что событие А уже произошло) величины P(B_k), k = 1,... , п.

Найдем условную вероятность Р_А(В_k).

По теореме умножения вероятностей и формуле (4) (см. п. 2) имеем Отсюда

Наконец, используя формулу полной вероятности, находим

(8)

Формулы (8) называют формулами Бейеса (или Байеса).

Пример 11. Большая популяция людей разбита на две группы одинаковой численности. Диета одной группы отличалась высоким содержанием ненасыщенных жиров, а диета контрольной группы была богата насыщенными жирами. После 10 лет пребывания на этих диетах возникновение сердечно-сосудистых заболеваний составило в этих группах соответственно 31% и 48%. Случайно выбранный из популяции человек имеет сердечно-сосудистое заболевание. Какова вероятность того, что этот человек принадлежит к контрольной группе?

Решение. Введем обозначения для событий: А  случайно выбранный из популяции человек имеет сердечно-сосудистое заболевание; В₁  человек придерживался специальной диеты; В₂  человек принадлежал к контрольной группе. Имеем

Согласно формуле полной вероятности

и, наконец, в силу формулы (8) искомая вероятность

3.3. Приложения в биологии

1. Законы Менделя. Известно, что в простейших случаях передача некоторого признака по наследству зависит от определенного гена. В половых клетках гены, отвечающие за некоторый признак, находятся парами. Например, в клетках гороха имеется пара генов, отвечающих за цвет цветков потомства  красный или белый. Эти гены могут находиться в двух состояниях  доминантном (оно обозначается буквой А) и рецессивном (оно обозначается буквой а). Поэтому пары генов могут быть такими:

АА, Аа (или аА), аа.

Выписанные возможности определяют генотипы данной особи: первый  доминантный, второй  смешанный, третий  рецессивный. Оказывается, что наследование признака зависит от генотипа особи. Например, для гороха красный цвет цветков  доминантный признак, а белый  рецессивный.

Из опытов известен I закон Менделя: особи доминантного и смешанного генотипов в фенотипе³ обладают доминантным признаком, и только особи рецессивного генотипа в фенотипе обладают рецессивным признаком.

Согласно этому закону для гороха особи доминантного и смешанного генотипов имеют красный цвет цветков и только особи с рецессивным генотипом имеют цвет цветков белый.

Пусть имеется популяция чистых линий с генотипами АА и аа  поколение F₀ (родительские формы).

После скрещивания особей с генотипом АА с особями с генотипом аа поколения F₀ образуется поколение гибридов с генотипом Аа. Это поколение в генетике принято обозначать F₁. В поколении F₁ других генотипов, кроме генотипа Аа, нет.

При случайном скрещивании особей поколения F₁ образуется поколение F₂, в котором одинаково часто встречаются 4 генотипа:

АА, Аа, аА, аа.

Из опытов известен II закон Менделя: в поколении F₂ происходит расщепление фенотипов в отношении 3:1 (3 части составляют особи с доминантным признаком в фенотипе, 1 часть приходится на особи с рецессивным признаком в фенотипе).

Из этого закона следует, что для поколения F₂ вероятность того, что в фенотипе особи проявится доминантный признак, равна , а вероятность того, что в фенотипе особи проявится рецессивный признак, равна .

2. Закон Харди. Пусть в популяции встречаются три генотипа: АА, Аа, аа. Доля особей генотипа АА равна и, доля особей генотипа Аа равна 2v и доля особей генотипа аа равна w. Коротко будем говорить о структуре популяции и записывать ее так:

(1)

Под этим мы понимаем следующее: если популяция содержит N особей, то особей генотипа АА в ней uN, особей смешанного генотипа Аа в ней 2vN и особей рецессивного генотипа аа в ней wN. При этом, так как то

и + 2v + w = 1. (2)

Подсчитаем число генов А в популяции. Все особи доминантного генотипа имеют 2uN генов А (у каждой особи два гена А, и всех особей uN), особи смешанного генотипа имеют 2vN генов А (у каждой особи один ген А, и всех особей 2vN), у особей рецессивного генотипа генов А нет. Следовательно, в популяции (1) число доминантных генов А равно или, короче, 2Np, где