Материал: Интегральные преобразования Фурье и Лапласа и их приложения к дифференциальным уравнениям. Теория вероятностей и элементы математической статистики. Бырдин А.П., Заварзин Н.В

, (16)

где  характеристический многочлен. Сокращенная форма записи уравнения с помощью оператора L особенно удобна тем, что позволяет совершенно одинаково записывать как левую часть дифференциального уравнения, так и его характеристический многочлен. При этом коэффициенты оператора и многочлена совпадают.

Так как мы считаем, что решение , а следовательно, и его изображение уже известны, то из формулы (16) можно найти

. (17)

Возьмем теперь уравнение с любой правой частью при тех же нулевых начальных условиях. Его операторное уравнение где . Находя отсюда и заменяя по формуле (17), получим . Согласно формуле (36) искомое решение равно

, (18)

так как в силу начальных условий, или

(19)

Воспользовавшись коммутативностью действия свертки, можно написать еще две аналогичные формулы. Отметим, что

для получения нам не нужно знать изображение правой части уравнения.

Таким образом, зная решение для единичной правой части, мы при помощи интегрирования находим решение для любой правой части. Напомним только, что в обоих случаях начальные условия  нулевые.

Пример 5. Найти решение уравнения при нулевых начальных условиях.

Решение. Изображения функции, стоящей в правой части, мы не знаем и сначала решаем уравнение при тех же нулевых начальных условиях. Операторное уравнение

имеет решение , его оригинал равен . Поэтому по формуле (18)

.

Выразить полученный интеграл при помощи элементарных функций нельзя.

Пример 6. Решить дифференциальное уравнение

, .

Решение. Составляем вспомогательное уравнение

, .

И решаем его операционным методом:

, .

Разлагаем на простейшие дроби

.

Получаем систему уравнений, определяющую коэффициенты разложения

Подставим найденные коэффициенты в выражение и перейдем к оригиналам

,

.

Решение заданного уравнения найдем по формуле Дюамеля (5.6) с учетом того, что . Имеем

,

.

Пример 7. Записать при помощи интеграла Дюамеля решение уравнения при нулевых начальных условиях.

Решение. Начнем, как и раньше, с уравнения . Его операторное уравнение имеет решение и

. Поэтому

Пример 8. Рассмотрим включение синусоидальной ЭДС в контур, состоящий из индуктивности и сопротивления (рис.16).

L

Д

Рис.16

Приравняв сумму напряжений в цепи электродвижущей силе получаем дифференциальное уравнение для тока в цепи

, .

Решение уравнения. Построим уравнение для изображений

.

из которого находим изображение тока в цепи

.

Для нахождения оригинала разложим дробно-рациональную функцию в правой части последнего равенства на сумму простейших дробей, используя метод неопределенных коэффициентов. Имеем,

.

Система уравнений, определяющая числа A, B, C имеет вид

Решая эту систему уравнений, получим коэффициенты разложения

, , .

Изображение тока теперь принимает вид

.

Перейдем по таблице изображений к оригиналам. Получим

.

3. Импульсные функции и их приложение к решению дифференциальных уравнений. Во многих практических задачах приходится иметь дело с кратковременными силами (например, ЭДС), имеющими характер мгновенного импульса. Эффект воздействия такой силы часто не зависит от ее вида, а зависит только от ее “площади” и не является малым, если сила достаточно велика.

Такие функции удобно представлять с помощью импульсной функции, называемой дельта – функцией Дирака.

Введем функцию , график которой изображен на рисунке 17

Рис. 17

и рассмотрим интеграл

Очевидно, что имеют место следующие равенства

, .

Если устремлять к нулю, то получится последовательность функций представляющая собой совокупность прямоугольников одинаковой площади с уменьшающимися основаниями и возрастающими высотами. Хотя рассмотренная последовательность функций и расходится, вводят условную функцию , которую считают пределом этой последовательности.

Эту условную функцию называют импульсной функцией или дельта – функцией

Для дельта – функции справедливо соотношение:

.

Физически эту функцию можно представлять как бесконечно малый промежуток с суммарным эффектом, равным I.

Дельта-функция обладает следующими “фильтрующими” свойствами для

,

, .

Изображение дельта-функции можно получить предельным переходом при изображения функции . Очевидно

.