Материал: Интегральные преобразования Фурье и Лапласа и их приложения к дифференциальным уравнениям. Теория вероятностей и элементы математической статистики. Бырдин А.П., Заварзин Н.В

(1)

Формулу (1) называют формулой Бернулли.

Пример 1. Пусть всхожесть семян данного растения составляет 90%. Найти вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут: а) три; б) не менее трех.

Решение. а) В данном случае n = 4, т = 3, р = 0,9, q = 1  p = 0,1. Применим формулу Бернулли (1):

б) Здесь событие А состоит в том, что из четырех семян взойдут или три, или четыре. По теореме сложения вероятностей . Но Р₄(4) = (0,9)⁴ = 0,6561. Поэтому Р(А) = 0,2916 + 0,6561 = 0,9477.

Снова рассмотрим n независимых испытаний, в каждом из которых наступает событие А с вероятностью р. Обозначим через X случайную величину, равную числу появлений события А в п испытаниях.

Понятно, что событие А может вообще не наступить, наступить один раз, два раза и т.д. и, наконец, наступить п раз. Следовательно, возможными значениями величины X будут числа 0, 1, 2, ..., n  1, п. По формуле Бернулли можно найти вероятности этих значений:

Запишем полученные данные в виде таблицы распределения:

Построенный закон распределения дискретной случайной величины X называют законом биномиального распределения.

Найдем М(Х). Очевидно, что X_i  число появлений события А в каждом испытании  представляет собой случайную величину со следующим распределением:

Поэтому М(Х_i) = . Но так как X = Х₁ + ... +Х_n, то М(Х) = пр. Найдем далее D(X) и (Х). Так как величина имеет распределение

то M(X_i²)= . Поэтому

Наконец, в силу независимости величин X₁, X₂, ..., Х_n,

Отсюда

Пример 2. Случайная величина X определена как число выпавших гербов в результате 100 бросаний монеты. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение X.

Решение. Вероятность появления герба в каждом бросании монеты . Следовательно, вероятность непоявления герба . Случайная величина X имеет биномиальное распределение при п = 100 и . Поэтому

Пример 3. Допустим, что для хищника вероятность поимки отдельной жертвы составляет 0,4 при каждом столкновении с жертвой. Каково ожидаемое число пойманных жертв в 20 столкновениях?

Решение. Это пример биномиального распределения при п = 20 и р = 0,4. Ожидаемое число есть М(Х) = пр = = =8.

2. Локальная и интегральная предельные теоремы Лапласа. Если число испытаний п велико, то вычисления по формуле Бернулли становятся затруднительными. Лаплас получил важную приближенную формулу для вероятности Р_n(т) появления события А точно m раз, если п достаточно большое число. Им же получена приближенная формула и для суммы вида .

Локальная предельная теорема Лапласа. Пусть р=Р(А)  вероятность события А, причем 0 < р < 1. Тогда вероятность того, что в условиях схемы Бернулли событие А при п испытаниях появится точно т раз, выражается приближенной формулой Лапласа

(2)

где

Для функции имеется таблица (см. приложение 1) ее значений для положительных значений х (функция четная).

Пример 4. Вероятность поражения цели стрелком при одиночном выстреле равна р = 0,2. Какова вероятность того, что при 100 выстрелах цель будет поражена ровно 20 раз?

Решение. Здесь р = 0,2, q = 0,8, n = 100 и т = 20. Отсюда и, следовательно,

.

Учитывая, что , из формулы (2) получаем (для получения приближен-ного равенства можно использовать калькулятор).

Перейдем к интегральной предельной теореме Лапласа. Поставим следующий вопрос, какова вероятность того, что в условиях схемы Бернулли событие А, имеющее вероятность Р(А) = р (0 < р < 1), при п испытаниях (как и прежде, число испытаний велико) появится не менее k раз и не более l раз. Эту искомую вероятность обозначим через P_n(k, l).

Справедлива следующая приближенная формула

(3)

где

(4)

Это составляет содержание интегральной предельной теоремы Лапласа.

Введем функцию

(5)

называемую функцией Лапласа или интегралом вероятностей. Очевидно, Ф(х) есть первообразная для функции (х). Так как (х) > 0 в ( ), то Ф(х)  возрастающая функция в этом интервале. На основании формулы Ньютона-Лейбница из формулы (3) получаем

(6)

Это  интегральная формула Лапласа.

Как известно, интеграл не берется в элементарных функциях. Поэтому для функции (5) составлена таблица ее значений для положительных значений х, так как Ф(0) = 0 и функция Ф(х) нечетная,

Пример 5. Вероятность того, что изделие не прошло проверку ОТК, равна 0,2. Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных изделий окажутся непроверенными от 70 до 100 изделий.

Решение. Здесь n = 400, k = 70, l = 100, р = 0,2, q = 0,8. Поэтому, в силу равенств (4) x_k = 1,25, x₁ = 2,5 и согласно формуле (6),

P₄₀₀(70, 100) = Ф(2,5)  Ф(1,25) = Ф(2,5) + Ф(1,25) =

= 0,4938 + 0,3944 = 0,8882.

3. Распределение Пуассона. Пусть производится серия п независимых испытаний (п = 1, 2, 3, ...), причем вероятность появления данного события А в этой серии Р(А) = р_n > 0 зависит от ее номера п и стремится к нулю при п  (последовательность «редких событий»). Предположим, что для каждой серии среднее значение числа появлений события А постоянно, т.е. пр_n = = const. Отсюда

Исходя из формулы Бернулли (1), для вероятности появления события А в n-й серии ровно т раз имеем выражение

Пусть т фиксировано. Тогда

(здесь использован второй замечательный предел). Поэтому

Если п велико, то в силу определения предела, вероятность Р_п(т) сколь угодно мало отличается от . Отсюда при больших п для искомой вероятности Р_n(т) имеем приближенную формулу Пуассона (для простоты знак приближенного равенства опущен)

Определение. Говорят, что случайная величина X распределена по закону Пуассона, если эта величина задана таблицей:

Здесь  фиксированное положительное число (разным значениям отвечают разные распределения Пуассона).

Найдем математическое ожидание дискретной величины X, распределенной по закону Пуассона. Согласно определению математического ожидания

Найдем далее D(X). Сначала найдем М(Х ²):