Материал: Интегральные преобразования Фурье и Лапласа и их приложения к дифференциальным уравнениям. Теория вероятностей и элементы математической статистики. Бырдин А.П., Заварзин Н.В

Здесь для облегчения вычислений можно использовать калькулятор. То же следует иметь в виду и в ряде других примеров этой главы.

4. Понятие о моментах распределения.

Определение 3. Начальным моментом порядка k случайной величины X называют математическое ожидание случайной величины X^k, где k  натуральное число: _k=M(X^k).

Следовательно, если X имеет распределение

То

Математическое ожидание и дисперсию случайной величины X можно выразить через начальные моменты порядков 1 и 2:

(1)

Определение 4. Центральным моментом порядка k случайной величины X называется математическое ожидание величины [X  M(X)]^k:

Из определения 4, сформулированной выше теоремы (п. 1) и определения дисперсии следует, что

(2)

Сравнивая соотношения (1) и (2), получаем

Пример 3. Дискретная случайная величина X задана законом распределения:

X	1	3
p	0,4	0,6

Найти начальные моменты первого, второго порядков и центральный момент второго порядка. Имеем

4.4. Непрерывные случайные величины

1. Интегральная функция распределения. Для непрерывной случайной величины в отличие от дискретной нельзя построить таблицу распределения. Поэтому непрерывные случайные величины изучают другим способом, который мы сейчас рассмотрим. Пусть X  непрерывная случайная величина с возможными значениями из некоторого интервала (а; b) и х  действительное число. Под выражением X < х понимается событие «случайная величина X приняла значение, меньшее х». Вероятность этого события Р(Х < х) есть некоторая функция переменной х:

Определение. Интегральной функцией распределения (или кратко функцией распределения) непрерывной случайной величины X называется функция F(x), равная вероятности того, что X приняла значение, меньшее х:

(1)

Отметим, что функция распределения совершенно также определяется для дискретных случайных величин.

Укажем свойства, которыми обладает функция F(x).

1.

2. F(x)  неубывающая функция, т.е. если х₁ < х₂ , то F(x₁) F(x₂).

3. Вероятность попадания случайной величины X в полуинтервал [а;b) равна разности между значениями функции распределения в правом и левом концах интервала (а; b):

(2)

Пример 1. Случайная величина X задана функцией распределения:

Найти вероятности того, что в результате испытания X примет значение, принадлежащее полуинтервалу [0;2).

Решение. Так как на полуинтервале [0;2) то

В дальнейшем случайную величину X будем называть непрерывной, если непрерывна ее функция распределения F(x).

4. Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет какое-либо заранее заданное значение, равна нулю:

(3)

5. Вероятности попадания непрерывной случайной величины в интервал, сегмент и полуинтервал с одними и теми же концами одинаковы

(4)

6. Если возможные значения случайной величины X принадлежат интервалу (а; b), то 1) F(x) = 0 при х а; 2) F(x) = 1 при х b.

Следствие. Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей числовой оси, то справедливы следующие предельные соотношения:

2. Дифференциальная функция распределения. Дифференциальной функцией распределения непрерывной случайной величины X (или ее плотностью вероятности) называется функция f(х), равная производной интегральной функции:

Так как F(x)  неубывающая функция, то f(х) 0.

Теорема. Вероятность попадания непрерывной случайной величины X в интервал (а; b) равна определенному интегралу от дифференциальной функции распределения величины X, взятому в пределах от а до b:

(5)

Из (5) следует, что геометрически вероятность Р(а<X<b) представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком плотности вероятности у = f(х) и отрезками прямых у = 0, х = а и х = b.

Следствие. В частности, ecлu f(x)  четная функция и концы интервала симметричны относительно начала координат, то

Пример 2. Продолжительность жизни растений данного вида в определенной среде представляет собой непрерывную случайную величину X. Пусть функцией плотности вероятности для X является . Какая доля растений данного вида умирает за период 100 дней?

Решение. Имея в виду свойство 5 (см. п. 1), согласно формуле (5)

В силу найденного выше следствия (см. п. 1),

(6)

Формула (6) дает возможность отыскать интегральную функцию распределения F(x) по ее плотности вероятности.

Отметим, что из формулы (6) и из только что отмеченного следствия вытекает, что

(7)

Пример 3. Задана плотность вероятности случайной величины X Требуется найти коэффициент А, функцию распределения F(x) и вероятность попадания случайной величины Х в интервал (0; 1).

Решение. Коэффициент А найдем, воспользовавшись соотношением (7). Так как

то , откуда .

Применяя формулу (6), получаем функцию распределения F(x):

Наконец, формулы (2) и (4) с учетом найденной функции F(x) дают

3. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины.

Определение 1. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X с плотностью вероятности f(х) называют величину несобственного интеграла (если он сходится):

Определение 2. Дисперсией непрерывной случайной величины X, математическое ожидание которой М(Х) = а и функция f(х) является ее плотностью вероятности, называется величина несобственного интеграла (если он сходится):

Можно показать, что математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины имеют те же свойства, что и математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины.

Для непрерывной случайной величины X среднее квадратическое отклонение (Х) определяется, как и для дискретной величины, формулой .

Пример 4. Случайная величина X задана плотностью вероятности

Определить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение величины X.

Решение. Согласно определениям 1 и 2

и, наконец,

4.5. Некоторые законы распределения случайных величин

1. Биномиальное распределение. Пусть производится п испытаний, причем вероятность появления события А в каждом испытании равна р и не зависит от исхода других испытаний (независимые испытания). Так как вероятность наступления события А в одном испытании равна р, то вероятность его ненаступления равна q = 1  р.

Найдем вероятность того, что при n испытаниях событие А наступит т раз (т п).

Пусть событие А наступило в первых т испытаниях т раз и не наступило во всех последующих испытаниях. Это сложное событие можно записать в виде произведения:

Общее число сложных событий, в которых событие А наступает т раз, равно числу сочетаний из п элементов по т элементов. При этом вероятность каждого сложного события равна: p^mq^n-m. Так как эти сложные события являются несовместимыми, то вероятность их суммы равна сумме их вероятностей. Итак, если Р_п(т) есть вероятность появления события А т раз в п испытаниях, то или