Материал: Интегральные преобразования Фурье и Лапласа и их приложения к дифференциальным уравнениям. Теория вероятностей и элементы математической статистики. Бырдин А.П., Заварзин Н.В
что
опять-таки справедливо. Можно также
записать, что
,
и, применив теорему интегрирования,
снова получить
Вот более сложный пример: согласно формуле (15)
Поэтому, дифференцируя левую часть и умножая правую часть на р, получим соответствие
которое можно также проверить, воспользовавшись формулами (15) и теоремой линейности.
Перейдем к теоремам дифференцирования и интегрирования изображений.
8. Теорема дифференцирования изображения. Если , то
(31)
т.е. дифференцирование изображения сводится к умножению оригинала на t.
Применяя теорему несколько раз, последовательно найдем оригиналы для высших производных изображения F(р):
и,
вообще,
(32)
Пользуясь формулой (32), легко найти изображения для степенных функций tk при целых значениях k, которые мы раньше получали дифференцированием по параметру (теорема 5).
Исходя
из формулы
и применяя (32), последовательно найдем
,
т.е.
,
т.е.
и, вообще,
(формула (22)).
9. Изображение свёртки. Для того чтобы найти оригинал, соответствующий произведению изображений, познакомимся сначала с одним сравнительно простым действием над оригиналами сверткой. Начнем с определения.
Сверткой
двух функций f(t)
и
g(t)
называется
интеграл
Этот
интеграл является функцией переменной
t,
которая входит в подынтегральное
выражение и является также переменным
верхним пределом интеграла. Свертка
функций обычно обозначается символом
(33)
Выражение для свертки не зависит от порядка, в каком берутся функции f(t) и g(t) (как говорят, действие свертки коммутативно), т.е.
(34)
Приведем примеры отыскания свертки двух функций. Пусть f(t) = et и g(t) = t. Тогда
т.
е.
Теорема
умножения изображений.
Если
и
,
то свертке функций
соответствует произведение изображений
F(p)G(p). (35)
Возвращаясь
к предыдущему примеру, по теореме
умножения изображений получим
,
и действительно,
.
Свертке
должно соответствовать изображение
.
Проверка дает
Позже нам понадобится специальный случай теоремы умножения. Именно, будем искать оригинал, соответствующий произведению рF(р)G(р). Запишем это произведение в виде pF(p)G(p)= [pF(p) f(0)] G(p) + f(0)G(p). Тогда первое слагаемое в правой части есть произведение изображений, соответствующих оригиналам (теорема дифференцирования оригинала) и g(t). Применяя теоремы умножения и линейности, получим
Если записать свертку в развернутом виде, то
(36)
Последнее равенство написано на основании свойства коммутативности свертки. Формула (36) называется интегралом Дюамеля. В этой формуле можно поменять местами изображения F(p) и G(p), а следовательно, и оригиналы f(t) и g(t); тогда получатся две новые формулы, записать которые не представляет труда.
В заключение перечислим еще раз все свойства (теоремы) операционного исчисления, сохраняя прежние обозначения.
1. A f(t) + В g(t) А F(р) + В G(р) (теорема линейности).
2.
f(t)
(
> 0) (теорема подобия).
3. eat f(t) F(p a) (теорема смещения в изображении).
4. f(t ) e-p F(p) ( > 0) (теорема запаздывания).
5.
Если
то
(теорема о дифференцировании по
параметру).
6.
(теорема дифференцирования оригинала),
7.
(теорема интегрирования оригинала).
8.
(теорема дифференцирования изображения).
9.
(теорема умножения изображений),
(интеграл Дюамеля).
В таблице 1 собраны формулы соответствия, полученные в настоящем параграфе. Рядом с номером формулы в скобках стоит номер, под которым эта формула впервые встретилась в тексте.
Номер формулы |
Оригинал |
Изображение |
1(5) |
1 |
|
2(6) |
|
|
3(8) |
|
|
4(9) |
|
|
5(12) |
|
|
6(12) |
|
|
7(15) |
|
|
8(15) |
|
|
9 |
|
|
10 |
|
|
11(22) |
|
|
12(22) |
|
|
13(21) |
|
|
14(23) |
|
|
15(23) |
|
|
16 |
|
|
17 |
|
|
10. Нахождение оригинала по изображению. При нахождении оригинала по его изображению пользуются таблицей 1 и свойствами преобразования Лапласа.
Пример.
Найти
оригиналы для следующих
изображений: 1)
2)
3)
4)
5)
Решение.
При решении будем использовать таблицу
1. 1) из соотношения 12 имеем
2) из соотношения 13 имеем
3) из соотношения 3 имеем
4) из теоремы линейности и соотношения
6 получим
5) по теореме запаздывания получим
2.3. Применения преобразования Лапласа к решению дифференциальных уравнений и систем
1. Решение дифференциальных уравнений. Одним из важнейших применений операционного исчисления, связанных с преобразованием Лапласа, является решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Возьмем неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка
(1)
и найдем его частное решение при начальных условиях
.
(2)
Операционный
метод
решения такой задачи состоит в том, что
мы считаем как искомую функцию
,
так и правую часть
оригиналами и переходим от уравнения
(1), связывающего оригиналы,
к уравнению, связывающему их изображения
и
.
Для этого воспользуемся теоремой о
дифференцировании оригинала:
Применяя также теорему линейности, перейдем в уравнении (1) от оригиналов к изображениям:
(3)
В результате мы получили уже не дифференциальное, а алгебраическое уравнение относительно неизвестного изображения . Решая его, находим
,
откуда
.
(4)
Итак, изображение искомого решения найдено. Осталось по известному изображению найти соответствующий ему оригинал ; он и будет являться искомым решением.
Операторное решение по формуле (4) имеет особенно простой вид при нулевых начальных условиях:
(5)
В этом случае
.
(6)