Материал: Интегральные преобразования Фурье и Лапласа и их приложения к дифференциальным уравнениям. Теория вероятностей и элементы математической статистики. Бырдин А.П., Заварзин Н.В

Ясно, что этот единичный импульс можно рассматривать как разность двух оригиналов: единичной функции и единичной функции, сдвинутой на t (рис. 2 и 5). Так как изображение последней функции есть , то, применяя теорему линейности, получим

(t)  . (18)

Рис. 7

П усть теперь единичный импульс начинается не в момент t = 0, а в некоторый момент t = Т и по-прежнему действует в течение времени t (рис. 8).

Рис. 8

Снова применяя теорему запаздывания, получим, что его изображение равно

Пусть, наконец, имеется периодическая система импульсов, изображенная на рис. 9. Ясно, что эту систему можно рассматривать как сумму импульсов, которые начинаются в моменты времени T ( = 0,1, 2, ...) и длятся время ( < T ). Применяя теоремы запаздывания и линейности, получим

Геометрическая прогрессия сходится, потому что если только Re p > > 0. В том частном случае, когда Т = 2, формула упрощается: f(t) 

Е сли в указанном частном случае первый импульс начать не с нуля, а с момента t = , то изображение опять умножится на и будет равно

Рис. 10

Рекомендуем самостоятельно проверить, что для оригинала, изображенного на рис. 10, т.е. задаваемого формулой

имеет место соответствие f(t)  , которое после простых преобразований можно выразить через гиперболический тангенс .

Совершенно не обязательно, чтобы все импульсы были одинаковыми. Применяя предыдущие формулы, легко установить, что система двух импульсов, показанная на рис. 11, имеет изображение Можно также построить изображение и периодической системы таких импульсов. Аналогично строятся изображения синусоидальных импульсов. Чтобы получить импульс в виде одной полуволны синусоиды sin t (рис. 12), нужно сложить два оригинала, один из которых есть sin t , а другой  та же синусоида, запаздывающая на  (сплошной и пунктирный графики на рис. 13). Применяя формулу (8) и теорему запаздывания, получим изображение такой полуволны:

Рис. 11

Такой же импульс, начинающийся с запаздыванием на Т, имеет изображение а периодическая система таких импульсов (рис. 14, T  )  изображение

.

В частности, если T= , т. е. рассматривается оригинал, равный то изображение равно

Рис. 14

Теорема опережения. Если  > 0, то

. (19)

Графики функций f(t) и f( t+ ) изображены на рис. 15, причем ординаты пунктирной части графика f( t+ ) должны быть заменены нулем, так что график f( t+ ) остается как бы срезанным. Это и приводит к тому, что в формуле (19) из F(p) вычитается интеграл в конечных пределах.

Рис. 15

5. Оригиналы, зависящие от параметра. Для получения большого числа новых изображений оказывается удобным рассматривать оригиналы и изображения, зависящие от параметра. Пусть функция f(t,x) при каждом фиксированном значении х является оригиналом и ей соответствует изображение

. (20)

Будем предполагать, что выполнены все условия, при соблюдении которых интеграл (20), рассматриваемый как функция параметра х, можно дифференцировать по этому параметру под знаком интеграла; тогда

.

Указанное правило дифференцирования интеграла по параметру позволяет сформулировать следующую теорему.

Теорема о дифференцировании по параметру. Если при любом значении х оригиналу f(t,х) соответствует изображение F(р, х), то .

Покажем, как следует применять эту теорему. Согласно формуле (6) . Здесь параметром является a; дифференцируя левую и правую части по этому параметру, получим новую формулу: Продолжение дифференцирования приводит к соответствиям

,

и, вообще,

(21)

Полагая a = 0, получим

(22)

Aналогично, дифференцируя по параметру  обе части соответствий: и найдем

(23)

Замечание. До сих пор рассматривались те свойства преобразования Лапласа, которые применяются главным образом для расширения таблицы оригиналов и изображений. Все выведенные формулы мы сведем в краткую таблицу, приведенную на стр. 45.

Теперь мы перейдем к наиболее важным свойствам преобразования Лапласа, связанным с действиями дифференцирования и интегрирования. Предварительно сделаем несколько замечаний. Ранее были сформулированы три условия, при соблюдении которых функция f(t) является оригиналом. Дальше в качестве оригиналов будут рассматриваться производные функции: , и т.д. Поэтому, не делая в дальнейшем никаких оговорок, будем раз и навсегда считать, что если какая-либо производная функция f(t) принимается за оригинал, то для нее выполняются все требуемые свойства. Кроме того, если, например, в качестве оригинала выступает первая производная, то будем считать, что сама функция f(t) при всех t>0 непрерывна. Если за оригинал принимается , то этому условию должна удовлетворять первая производная и т.д. В то же время, когда речь пойдет о первообразной для функции f(t), в частности об интеграле с переменным верхним пределом , никаких дополнительных оговорок делать не нужно. Можно показать, что если функция f(t) является оригиналом, то и интеграл также является оригиналом.

Как мы уже видели (см. рис. 2), часто случается, что точка t=0 является точкой разрыва оригинала. Так как нам в дальнейшем придется говорить о значении f(0), то условимся всегда понимать под этим предел функции f(t) при t 0 справа, т. е.

(24)

Аналогично, если точка t=0 является точкой разрыва для первой производной , то условимся, что

(25)

Так же поступим в случае производных высших порядков.

После сделанных оговорок перейдем к формулировке теорем.

6. Теорема дифференцирования оригинала. Если , то

(26)

т.е. дифференцирование оригинала сводится к умножению на р его изображения и вычитанию f(0).

В частности, если f(0) = 0, то

(27)

Применяя теорему повторно, получим

и, вообще,

(28)

Самый простой случай  тот, когда все начальные значения функции и ее производных равны нулю:

тогда

(29)

т.е. при нулевых начальных значениях n-кратное дифференцирование оригинала сводится к умножению на его изображения.

7. Теорема интегрирования оригинала. Если и то

(30)

т. е. интегрирование оригинала в пределах от 0 до t приводит к делению изображения на р.

Приведенные теоремы дифференцирования и интегрирования оригинала оправдывают замечание, сделанное в конце предыдущего параграфа о том, что более сложным действиям над оригиналами (в данном случае  дифференцированию и интегрированию) соответствуют более простые действия над изображениями (умножение и деление на р и в первом случае вычитание постоянного числа f(0)).

Проверим теоремы 6 и 7 на простых примерах. Так как, то Исходя из соответствия получим