Материал: Интегральные преобразования Фурье и Лапласа и их приложения к дифференциальным уравнениям. Теория вероятностей и элементы математической статистики. Бырдин А.П., Заварзин Н.В

Изложенный метод применим к решению линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами любого порядка.

Пусть дано уравнение n-го порядка:

(7)

с начальными условиями

. (8)

Применяя преобразование Лапласа и пользуясь общей формулой (28) теоремы дифференцирования, получим

где и . Отсюда

, (9)

где а  многочлен степени не выше, чем , с коэффициентами, зависящими от начальных значений . Если, в частности, все начальные значения равны нулю: то и . (10)

Переходя в формулах (9) или (10) от изображений к оригиналам, получаем искомые решения.

При практическом решении вовсе нет нужды пользоваться готовыми формулами (9) или (10). Нужно только помнить метод их получения. Заметим еще, что если в формулах (4) или (9) считать начальные значения , ... не заданными, а произвольными постоянными, то мы получим не частное решение, а общее.

К сказанному сделаем только одно замечание. Так как правую часть уравнения (7), а также решение мы считаем оригиналами, то при их нужно считать равными нулю. Таким образом, мы получаем, вообще говоря, решение только при . Начальные значения ,... представляют при этом предельные значения соответственно , при справа. Как мы уже отмечали, при изучении физических процессов нас, как правило, интересует только течение процесса начиная с некоторого момента времени, который мы и принимаем за .

Впрочем, при решении конкретных примеров, очень часто получающееся решение оказывается справедливым при всех значениях (конечно, если и правая часть уравнения определена при всех ), хотя это и требует проверки. Перейдем к примерам.

Пример 1. Найти решение уравнения

удовлетворяющее нулевым начальным условиям .

Решение. Полагая и находя изображение правой части , составляем операторное уравнение

,

откуда .

Разложив на простейшие дроби, находим решение дифференциального уравнения: . Функция удовлетворяет уравнению при всех значениях .

При практическом решении дифференциальных уравнений операционным методом рекомендуется, конечно, пользоваться готовыми таблицами соответствия между оригиналами и изображениями. Чем эти таблицы подробнее, тем меньше придется делать дополнительных вычислений и преобразований.

Пример 2. Найти решение уравнения при начальных условиях

Решение. Найдем прежде всего изображение правой части. Так как (формула 12 табл. 1), то по теореме затухания . Учитывая, что и составим операторное уравнение:

;

отсюда .

Оригинал для первого слагаемого находим по формуле, указанной выше. Так как , то (теорема смещения в изображении).

Второе слагаемое запишем в виде

.

Тогда и окончательно

.

Можно убедиться, что если решать данное уравнение обычными методами, то это потребует гораздо более длинных выкладок.

Покажем на одном примере, как следует поступать, если начальные значения заданы не в точке .

Пример 3. Найти решение уравнения при начальных условиях .

Решение. Положим и . Так как , то уравнение и начальные условия перепишутся теперь в виде ,

(значению соответствует ). Переходя к операторному уравнению, получим

и , откуда

.

Возвращаясь к оригиналам, найдем:

.

Чтобы получить решение заданного уравнения, осталось заменить на :

.

Пример 4. Найти общее решение уравнения

.

Решение. По таблице изображений находим

.

Полагая , имеем

где числа и играют роль произвольных постоянных. Изображающее уравнение имеет вид

.

Отсюда

.

Преобразуем первое слагаемое для и найдем по таблице соответствующий ему оригинал

Для второго слагаемого имеем

Для отыскания оригинала последнего слагаемого разложим его на простейшие дроби

.

Система уравнений для определения коэффициентов разложения имеет вид

Откуда находим , , . Следовательно,

Собирая оригиналы всех слагаемых, находим решение уравнения

.

Положим , , получим

2. Применение интеграла Дюамеля. Введем сначала сокращенную запись линейного дифференциального уравнения n-го порядка. Именно, будем символом обозначать левую часть уравнения (7)

. (11)

называется линейным дифференциальным оператором n-го порядка. Числа (или функции, если речь идет об уравнениях с переменными коэффициентами) называются коэффициентами оператора.

Из самого определения следует, что

, (12)

т. е. что оператор от линейной комбинации функций равен линейной комбинации операторов от этих функций. Отсюда, кстати, и происходит название – линейный оператор.

Неоднородное уравнение сокращенно запишется в виде

(13)

Смысл применения теоремы умножения будет заключаться в том, что если нам известно решение уравнения (13) при какой-то одной правой части, то мы получим возможность с помощью свертки отыскивать решение при любой другой правой части. Особенно удобно начинать со случая, когда :

. (14)

Начальные условия будем считать нулевыми:

. (15)

Соответствующее решение обозначим через , а его изображение – через . Операторное уравнение примет вид , или