Материал: Лекции по информатике учебнометодическое пособие

Алгебра логики – это раздел математики, изучающий логиче- ские высказывания и логические операции над ними.

Логическоевысказывание – это любое повествовательное предложение, про которое можно однозначно сказать, истинно оно или ложно. Примеры: «студент 1501 группы», «в городе более мил- лиона жителей» (без указания названия города) – не являются логи- ческими высказываниями. «Иванов – студент 1501 группы и живет в Санкт-Петербурге», «в городе Санкт-Петербурге более миллиона жи- телей» – это логические высказывания.

Слова и словосочетания «не», «и», «или», «если…, то», «тогда и только тогда» называются логическими связками. С их помощью формируются составные высказывания из более простых. Элемен-тарные высказывания – не содержат в себе других высказываний. В предыдущих примерах «в городе Санкт-Петербурге более миллиона жителей» – элементарное высказывание, а «Иванов – студент 1501 группы и живет в Санкт-Петербурге» – составное, так как его можно разбить на два более простых: «Иванов – студент 1501 группы»,

«Иванов живет в Санкт-Петербурге».

Для того чтобы исследовать общие характеристики высказы- ваний и упростить их запись и анализ, абстрагируясь от предметной области, к которой они относятся, их обозначают буквами латинского алфавита, и рассматривают как логические переменные, принимаю-

щие только два значения: «истина» и «ложь». Например, для приве- денных выше примеров:

А = «Иванов – студент 1501 группы»;

В = «Иванов живет в Санкт-Петербурге»;

А и В = «Иванов – студент 1501 группы и живет в Санкт- Петербурге».

Основные логические операции

Каждая логическая связка рассматривается как операция, ре- зультат которой зависит от значений входящих в неѐ переменных (то есть высказываний). Для упрощения записи вместо слов «истина» и

«ложь» используют двоичные цифры: «истина» = 1, «ложь» = 0. Ос-

новные логические операции и их результаты при разных значениях высказываний приведены в табл.2.1.

Таблица 2.1 Основные логические операции (иерархия сверху вниз):

Название	Обозначение	Результат
Отрицание, инверсия (связка «не»)	А, А	А = 0 А = 1 А = 1 А = 0
Конъюнкция, лог. умножение (связ- ка «и»)	А В, А & В, А ^ В	А = 1, В = 1 А В = 1, в остальных случаях – = 0
Дизъюнкция, лог. Сложение (связка «или»	А v В, А + В	А = 0, В = 0 А v В = 0, в остальных случаях – = 1

Импликация (связки «если…, то», «из… следует», … влечѐт…»	А В	А = 1, В = 0, то А В = 0, в остальных случаях = 1
Эквиваленция, двойная импликация (связки «тогда и только тогда», «необходимо и достаточно», «…равносильно…»,	А В; А В	А = 1, В = 1 А В = 1 А = 0, В = 0 А В = 1 А = 1, В = 0 А В = 0 А = 0, В = 1 А В = 0

Анализ составных логических высказываний удобно делать с помощью таблиц истинности. В них представляют все возможные комбинации значений элементарных высказываний, которые входят в составное, и его результирующее значения для каждой из них. При- меры:

Конъюнкция
А	В	F =А В
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Дизъюнкция
А	В	F =А+В
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Импликация
А	В	F = А В
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

Эквиваленция
А	В	F = А В
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Анализ логического высказывания А и не В и не А (A

А	В	Y₁ = А	Y₂ = В	Y₃ = А Y₂	Y₄ = Y₃ Y₁
0	0	1	1	0	0
0	1	1	0	0	0
1	0	0	1	1	0
1	1	0	0	0	0

Ответ: выражение тождественно ложно.

Анализ логического высказывания А и не А или В (A А v B)

А	В	Y₁ = А	Y₂ = А Y₁	Y₃ = Y₂ v В
0	0	1	0	0
0	1	1	0	1
1	0	0	0	0
1	1	0	0	1

Источник: https://files.student-it.ru/previewfile/157483

Смотрите также:



17. Введение 18. Линейные программы 19. Ветвления 20. Программирование циклических алгоритмов
Сборные железобетонные ребристые плиты перекрытия
_-___-~1
_3 тема - Диффузия
_Роджерс Карл, Брак и его альтернативы
_Штерн Вильям, Дифференциальная психология и ее методические основы
- Описание типа СЭТ7009
- Программа ГПИ