Материал: Математические методы и модели в экономике. лабораторный практикум. Амелин С.В

В цехе в смену работают n контролёров, занятых проверкой качества заготовок, технической документации и др. Каждый контролёр может одновременно осуществлять контроль только одного изделия. Если в момент поступления очередного требования на контроль, работа не может быть выполнена (все контролёры заняты), возникает очередь на обслуживание. Всего бригада контролёров обслуживает m рабочих мест. Таким образом, поток требований на контроль ограничен числом m.

Рассчитать основные параметры качества функционирования данной системы при различных вариантах её организации (разном количестве контролёров). Выбрать оптимальный вариант на основе одного из критериев оптимальности.

Основные понятия. Для расчета основных параметров качества функционирования системы массового обслуживания введём следующие обозначения:

n – число обслуживающих каналов (аппаратов);

k – число требований, находящихся в системе одновре-

менно, k = 0,1; …, m;

Тобсл – среднее время обслуживания одного требования одним обслуживающим каналом (аппаратом);

- интенсивность поступления требований на обслуживание, т.е. количество требований в ед. времени;

ν – интенсивность обслуживания одного требования одним обслуживающим каналом (аппаратом).

Тогда

1. Вероятность того, что занято k обслуживающих аппаратов, при условии, что число требований, находящихся в системе, не превосходит числа обслуживающих каналов:

где v .

30

2. Вероятность того, что в системе находится k требований, для случая, когда их число больше числа обслуживающих каналов:

4. Коэффициент простоя обслуживаемого требования в ожидании обслуживания (в очереди):

5. Среднее число требований, находящихся в обслуживающей системе (в обслуживании и ожидании его):

m

Мст = M2 k Pk (2.6)

k 1

6. Коэффициент простоя обслуживаемого требования в обслуживающей системе:

7. Среднее число свободных обслуживающих каналов:

n 1

Мск = M3 ( n k ) Pk (2.8)

k 0

8. Коэффициент простоя обслуживающего канала:

Рассчитанные по формулам (2.2) – (2.9) параметры системы массового обслуживания дают общую характеристику ее функционирования, не указывая на основе какого критерия выбирается оптимальный вариант организации системы.

Выше нами сформулированы задачи, в которых в качестве обслуживающих систем выступают различного рода вспомогательные службы и хозяйства цеха.

31

Хотя обслуживающие системы носят вспомогательный характер и не участвуют непосредственно в основном производстве, об их оптимальности следует судить исходя из общих результатов хозяйствования цеха.

Поэтому при выборе оптимального варианта организации обслуживающей системы в качестве критерия оптимальности следует брать минимальную себестоимость единицы выпускаемой основным производством продукции, считая ее функцией от варианта организации системы.

Варианты организации обслуживающей системы задаются при этом количеством обслуживающих каналов (аппаратов), которыми в наших задачах являются вспомогательные рабочие (кладовщики-раздатчики инструмента, контролерыприемщики продукции, слесари-ремонтники, наладчики).

Себестоимость единицы продукции выражается отношением затрат производства к объёму выпуска:

Обслуживающие системы не имеют прямого отношения к выпуску продукции, но влияют на величину её объёма, т.к. от качества обслуживания зависит величина простоев обслуживаемых рабочих мест. Образуемая очередь на обслуживание приводит к значительным потерям, которые несёт цех. При увеличении численного состава вспомогательных служб простои в основном производстве уменьшаются.

Если при существующей в цехе численности обслуживающих каналов (аппаратов) коэффициент простоя рабочих

мест в обслуживании и ожидании обслуживания - ~ , а при

K 2

другом количественном составе обслуживающих каналов (аппаратов) - К2, то доля времени работы обслуживаемых рабо-

чих мест основного процесса изменится от (1 – ~ ) до (1 –

K 2

К2). Изменение выпуска продукции при этом пропорционально времени работы рабочих единиц основного процесса. Поэтому влияние численного состава обслуживающей системы на объём выпуска продукции может быть записано как:

32

численности обслуживающих каналов ( ~ ); n

В – возможный объём выпуска продукции при другой численности обслуживающих каналов (n).

Численность каналов (аппаратов) обслуживающей системы влияет и на величину затрат на производство. Поскольку затраты подразделяются на условно-постоянные и переменные, причем переменные – пропорциональны объёму выпуска продукции, то очевидно рассматривать последние изменяющимися пропорционально времени работы, т.е.:

цехе численности обслуживающих каналов ( ~ ); n

П – ожидаемая величина переменных расходов при другой численности обслуживающих каналов (n).

Изменения условно-постоянных расходов, включающих расходы на содержание вспомогательных служб в цехе, связаны только с изменениями заработной платы обслуживающих рабочих с доплатами и отчислениями на соцстрах. Если эти расходы в рассматриваемый период составляли в среднем на одного рабочего, работающего в одну смену Q ден.ед, то при изменении численности обслуживающих каналов (аппаратов) они будут иметь вид:

численности обслуживающих каналов (аппаратов) в цехе ( ~ ); n

Р – условно-постоянные расходы при другой численности обслуживающих каналов (n);

r – число смен работы обслуживающего рабочего в день.

33

Из изложенного выше следует, что общие затраты на производство, равные сумме условно-постоянных и переменных, будут иметь вид:

(2.11) можно брать в качестве критерия оптимальности при выборе необходимого числа обслуживающих каналов (аппаратов) в цехе, т.е. при выборе оптимального варианта организации вспомогательного хозяйства цеха.

Пример лабораторного задания. В цехе в одну смену

работают 3 контролёра ( ~ = 3). Общее количество источни- n

ков, от которых поступает поток требований, 15. Расходы на

С помощью хронометража и некоторых вычислений было установлено, что интенсивность поступления одного требования от одного источника составляет = 0,02 треб./мин, а среднее время обслуживания одним контролером одного требова-

ния Тобсл = 4 мин. Требуется:

1.Рассчитать на ЭВМ основные параметры качества функционирования системы массового обслуживания.

2.Рассчитать на микрокалькуляторе основные показатели хозяйственной деятельности цеха.

3.На основании анализа полученных результатов по критерию минимума себестоимости единицы выпускаемой продукции выбрать оптимальное число контролёров.

34