Материал: Механика. Учебное пособие. Рукин Ю.Б., Нилов В.А

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

					Fx2		e6
					Fx2
			F	e6	Fy
	e		F		Fy	2
F	e	6	2			2		(4.1)
F		6	F3		Fx			(4.1)
			F3		Fx
					3
					Fy3

					x2
				e6
	e				y2
		6	2				,	(4.2)
			2



			3		x3

где индекс е6 обозначает элемент, к которому относятся рассматриваемые величины.

Растяжение или сжатие стержня длины L определяется


величиной х	3	х	2	cos	y	3	y	2	sin и деформация полу-
	3		2			3		2

чается в результате деления этой величины на L.

Так как напряжение (σ) равно модулю Юнга Е, умноженному на деформацию, то продольная сила, приложенная к стержню:

РEA L

x		x		cos	y		y		sin ,	(4.3)
3			2		3			2

где А – площадь поперечного сечения стержня.

Компоненты продольной силы Р могут быть приравнены к компонентам шарнирных сил и уравнение (1) примет вид:

			Fx2		P cos
	e	F	Fy	2	P sin
F	e	2		2		(4.4)
F	6	F3	Fx		P cos	(4.4)
		F3	Fx		P cos
			3
			Fy		P sin
			3
					74

Подстановка Р из уравнения (4.3) в выражение для Fx2 в уравнении (4) дает:

(4.5, а)

x cos

y sin cos

или

Fx2

cos2

sin

cos

(4.5, б)

cos

sin

cos

В матричной форме уравнение (4.5, б) имеет вид:

Fx2

cos2

,sin

cos

, cos2

sin

cos

(4.5, в)

Четыре уравнения типа (4.5, в) для

,Fy

,Fx

,Fy

в мат-

ричной форме:

F e6 EA

cos2

, sin cos ,

cos2

sin

cos

sin

cos

, sin

sin

cos

sin

(4.6, а)

cos2 ,

sin

cos

, cos2

, sin

cos

sin

cos ,

sin2

, sin

cos

, sin2

С множителем EAL , внесенным в квадратную матрицу,

уравнение (4.6, а) приобретает вид:

		K x	,x	2	Kx	,y	2		\| K x	,x		K x	,y		3
		K x	,x		Kx	,y			\| K x	,x		K x	,y
	Fx2	2			2				2		3	2				x2
	Fx2	K y			K y				\| K y			K y				x2
	Fy2	K y	,x	2	K y	,y		2	\| K y	,x		K y	,y		3
		2		2	2			2	2		3	2			3
e																y2	(4.6, б)
F	6							\|									(4.6, б)
	Fx3	K x ,x			K x ,y				\| K x ,x			K x				x
													y			3
													y
	Fy3	3		2	3		2		3		3	3,		3
		3		2	3		2		3		3	3,		3
		K y			K y				\| K y			K y				y3
		K y	,x	2	K y	,y	2		\| K y	,x		K y	,y		3	y3
		3		2	3		2		3		3	3			3

Если матрицы разбиты штриховыми линиями, то уравнение (4.6, б) можно записать следующим образом:

	K22e6	K23e6
e	K22e6	K23e6	2
F	6			(4.6, в)
	K32e6	K33e6	3

Уравнение (4.6, в) является матричным уравнением для элемента е6 и его квадратная матрица коэффициентов [К] называется матрицей жесткости элемента. Подобные уравнения могут быть получены и для других элементов. Уравнение (4.6, в) может быть расширено так, чтобы оно включало все узловые смещения системы:

		0	0	0	0	0	0	0	1
		F e6	0 K e6		K e6	0 0		0
		F e6	0 K e6		K e6	0 0		0	2
		2		22	23
	e	F e6	0 K e6		K e6	0 0		0	3
F	6	3		32	33					(4.6, г)
		0	0	0	0	0	0	0	4
									4
		0	0	0	0	0	0	0
		0	0	0	0	0	0	0	5
									5
		0	0	0	0	0	0	0
		0	0	0	0	0	0	0	6
									6
					76

Уравнение (4.6, г) представляет собой расширенное матричное уравнение для элемента е6:

			F e6 [		e6 ]	(4.6, д)
			F e6 [	K	e6 ]	(4.6, д)
	e6		- расширенная матрица жесткости элемента е6, {δ}
[K	e6	]
[K		]

– вектор узловых перемещений системы.

Внешние силы R1, R2, …R6 могут быть выражены через

х–у компоненты Rx1 , Ry1 , Rx2 , Ry2 ... Rx6 , Ry6 , а условия равновесия в узловых точках могут быть определены через эти компоненты. Например, в узле с номером 2 условия равновесия в направлении х имеет вид:

R	F e1	F e4	F e5	F e6 .	(4.7)
x2	x2	x2	x2	x2

Хотя в правую часть равенства (4.7) дают вклад только те элементы, которые содержат узел 2, удобно записать это соотношение в общем виде:

	7
Rx2		F ei	,	(4.8, а)
Rx2		x2	,	(4.8, а)
	i	1
или
		7
R	x2	F e		(4.8, б)
	x2	x2
	e	1

Аналогичное соотношение получается для другой компоненты вектора R2:

	7
R	y2	F e .	(4.8, в)
	y2	y2
	e	1

Уравнения (4.8, б) и (4.8, в) можно объединить в матричной записи:

	Rx2			e
	Rx2		7	Fx2	7
			7		7
R					F e .	(4.9)
2	Ry			F e	2
	Ry	2	e 1	F e	e 1
		2		y2

Аналогичные уравнения могут быть записаны и для других узлов. Результирующая система уравнений равновесия записывается в виде:

	R		F e
	1		1
	R2	7	e	7
R	R2		F2	F e .	(4.10)
		e 1		e 1
	R6		F e
			6

Подстановка выражений типа (4.6, д) в уравнение (4.10)

дает:

7			e .
R		K	e .	(4.11)
e	1
или
K	= R			(4.12)

Это уравнение называется матричным уравнением системы, а матрица К, задаваемая равенством:

7			e
K		K	e	(4.13)
e	1

называется матрицей жесткости системы.

Процедура, использованная выше для объединения матричных уравнений элементов, называется поэлементным объединением. Метод анализа конструкций, описанный выше, называется методом перемещений и может быть распространен на случаи:

а) начальных конструкционных (сборочных) или тепловых деформаций,

б) массовых сил, таких, как гравитационные,

Источник: https://studfile.net/preview/16563823/

Смотрите также:

5636
s5
Анализ деятельности органа опеки и попечительства администрации города Чебоксары
Балльно-рейтинговая система в формате ФГОС 3++
Воспаление
конспект 2
ЛОГИСТИКА ТЕСТЫ
Наноэлектроника
Новиков Н.И.. О добродетели
Обыск: понятие, основания и порядок производства