Материал: Начала математического анализа. Часть 2. Горбунов В.В., Соколова О.А

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

2) множеством значений функции x t при t ,

является отрезок a, b ,
3)	a и	b , то
		b
		f (x)dx	f (t) (t)dt .

Доказательство:

Пусть F(x) является первообразной для f(x). По формуле

				b
Ньютона-Лейбница				f (x)dx		F (b)	F (a).		Поскольку
				a
F t	f	t	t ,	то	F	t	первообразная для
функции	f t	t	. Тогда
f (t)	(t)dt F (t)			F ( )		F ( )		F (b) F (a)
f (t)	(t)dt F (t)			F ( )		F ( )		F (b) F (a)
b
f (x)dx.
a
При		вычислении			определенного				интеграла,

представляющего собой число, возвращаться к прежней переменной нет необходимости. В этом случае требуется пересчитать пределы интегрирования для новой переменной интегрирования.

Пример 3.6. Вычислить определенный интеграл

x 2 1 x 2 dx.

Решение:

														x	sin t
1														dx			costdt
														dx			costdt							2
	x 2			1		x 2 dx								x1			0, t1				0			2	sin2 t				1 sin2 t cost dt
	x 2			1		x 2 dx								x1			0, t1				0				sin2 t				1 sin2 t cost dt
0																								0
														x2		1,			t2
														x2		1,			t2		2
																					2

2		sin2 t cos2 t dt													1	2		sin2 2t dt						1	2
																									1				cos4t dt
															4									8	1				cos4t dt
0															4	0								8	0
1				t	/ 2					1	sin 4t					/ 2						0						.
					/ 2											/ 2

					0											0
8									4												16				16									8			dx
8									4												16				16

				Пример 3.7. Вычислить определенный интеграл																																			.

																																					3

																																		0		1		x
																																		0
				Решение:
					3												t 3
					3					x			t, x				t 3
8 dx							dx 3t 2 dt														2 3t 2 dt						2 t 2		1 1				2
																									3					dt	3			(t 1)dt

0 1				3 x				x1				0, t1				0					0 1 t								t 1
0 1				3 x				x1				0, t1				0					0 1 t				0				t 1				0
								x2					8, t2			2
2				dt					3t 2
2				dt					3t 2														2
	30													3t			3ln			t	1		0	3ln 3.
				t 1					2					3t			3ln			t	1			3ln 3.
				t 1					2
				Пример3.8.												Вычислить										определенный									интеграл
ln 2
			e x		1dx.
0
				Решение:

														e x	1				t,		x	ln(t 2			1)
ln 2																	2t												1		2t
			e x		1dx							dx					2t			dt,										t	2t				dt

																		t 2															2
0															1			t 2											0	1		t	2
0																													0
												x1			0, t1					0, x2			ln 2, t2						1

1	t 2	1 1	1	1		dt		1
2			dt 2	dt			2 t arctgt		2 1		.
	t 2	1			1	t 2		0		4
0			0	0

3.9. Несобственные интегралы. Несобственные интегралы первого рода

Определенные интегралы от непрерывных функций по конечному отрезку называются собственными интегралами.

Несобственные интегралы возникают, если отрезок интегрирования бесконечен или подынтегральная функция испытывает разрыв второго рода.

Если хотя бы один предел интегрирования оказывается бесконечным, то определенный интеграл называется несобственным интегралом первого рода.

Рассмотрим функцию f x , непрерывную на промежутке

a, , и выделим отрезок a, N .
Несобственным	интегралом		от функции f x по
бесконечному промежутку		a,	называют предел интеграла
по промежутку a, N	при N		:
			N
	f (x)dx	lim	f (x)dx .
a		N	a
a			a

Если указанный предел существует, то несобственный интеграл называется сходящимся. Если предел не существует или бесконечен, то несобственный интеграл называется

расходящимся.

Пример 3.9. Вычислить несобственный интеграл		dx	.

	1	x 2

Решение:

	dx		lim	N dx		lim	1

	x	2		1 x	2		x
1			N			N

N	lim	1	1 1.
N


		N
1	N	N
1

Несобственный интеграл сходится.
				Пример				3.10.				Вычислить					несобственный интеграл
			xdx		.
					.
1		x2 1
1
				Решение:
		xdx					N	xdx						1				N
																		N

						lim						lim			ln	x 2	1
1 x			2	1		lim		x	2	1		lim	2		ln	x 2	1
			2			N			2			N
							1											1

	1			lim		ln N 2			1		ln 2		.
	1

	2 N

Предел не существует, следовательно, интеграл расходится. Геометрическая интерпретация сходящегося

несобственного интеграла при f x 0 - площадь бесконечно длинной криволинейной трапеции (рис 7).

y f x

O a

Рис. 7.

Большинство свойств определѐнного интеграла (кроме оценки и теоремы о среднем) для несобственных интегралов сохраняются.

Если f(x) непрерывна на промежутке , a , то аналогичным образом может быть определен несобственный

интеграл первого рода на промежутке			, a :
a		a
f ( x)dx	lim		f ( x)dx .
	N	N
		N
Если f(x) непрерывна на всей числовой оси, то
	a
f (x)dx	f (x)dx		f (x)dx .
			a
В этом случае интеграл	f (x)dx сходится, если сходятся

оба интеграла в правой части.

В некоторых задачах бывает достаточно знать, сходится или расходится рассматриваемый несобственный интеграл, поэтому используются признаки сходимости для несобственных интегралов первого рода.

Теорема. (Признак сравнения) Если на промежутке a,

непрерывные функции		x и f x подчиняются неравенству
0	x f x , то из сходимости интеграла f (x)dx следует
		a
сходимость интеграла		(x)dx , а из расходимости интеграла
		a
	(x)dx следует расходимость интеграла f (x)dx .
a		a
	Доказательство:

Источник: https://studfile.net/preview/16563680/

Смотрите также:

4853
Оценка устойчивости наземных телекоммуникационных сетей связи
Проектная деятельность как средство формирования регулятивных универсальных учебных действий у младших школьников