Материал: Начала математического анализа. Часть 2. Горбунов В.В., Соколова О.А

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Докажем		первую		часть	теоремы, т.е.			если		f (x)dx
										a
сходится,	то сходится			и интеграл			(x)dx . Проинтегрируем
						a
неравенство		0	x	f x	в	пределах		от	a	до N:
N	N
(x)dx	f (x)dx .
a	a
Возьмем пределы при N						от левой и правой части
неравенства:
				N			N
			lim	(x)dx		lim	f (x)dx .
			N	a		N	a
				a			a
Поскольку правый предел есть конечное число,										так как
							N
интеграл	f (x)dx сходится, то интеграл							(x)dx	ограничен.
	a						a
	N
Интеграл	(x)dx		как	функция		N	является возрастающей

функцией и ограничен. Это означает, что существует конечный

					N
предел			lim			f (x)dx , а несобственный интеграл	(x)dx
			N		a		a
					a		a
сходится.
		Вторая часть теоремы доказывается по аналогии.
		Пример				3.11. Исследовать на сходимость	интеграл
		dx		.

1	x2	1	e x
1

Решение: Сравним данный интеграл с известным

сходящимся

интегралом

Так

как

при

x 2

, то

x2 1

e x

Следовательно,

интеграл

является

x 2 1

e x

x 2

сходящимся.

Теорема.

Если

существует

предел

lim

f x

k ,

0 ,

то

интегралы

f (x)dx

(x)dx

одновременно оба сходятся или оба расходятся (без

доказательства).

Пример

3.12.

Исследовать

сходимость интеграла

dx .

Решение: Рассмотрим для сравнения интеграл

lim

N dx

lim

. Поскольку интеграл

1 x

2 x

N 2

сравнения сходится, а

ln(1

)

lim

то сходится и исходный интеграл.

3.10. Несобственные интегралы второго рода

Пусть функция f x определена и непрерывна на промежутке a,b, а в точке b терпит бесконечный разрыв или разрыв II рода (рис. 8).

	y	f x
O	a	b	x
		b
	Рис. 8.
				b
Тогда, если существует конечный предел lim				f x dx ,
			0	a

( >0), то его называют несобственным интегралом второго

рода и обозначают f x dx . Если предел не существует или

бесконечен, то несобственный интеграл второго рода называется расходящимся.

Аналогично определяется интеграл с особенностью подынтегральной функции на нижнем пределе. Пусть f x

непрерывна на промежутке	a,b ,	а при x a имеет разрыв II
рода, тогда
b		b
f (x)dx	lim	f (x)dx.
a	0 a

Если функция y f x испытывает разрыв второго рода

во внутренней точке	c	отрезка	a, b , то несобственный
интеграл второго рода определяется формулой
b		c		b
f	x dx	f x	dx	f x dx .
a		a		c

Несобственный интеграл слева сходится, если сходятся каждый из несобственных интегралов, расположенных справа.

Если

f x

0 , то несобственный интеграл второго рода

f x

интерпретируется

геометрически

как

площадь

бесконечно высокой криволинейной трапеции.

Для

несобственных

интегралов

второго

рода

используются признаки сходимости.

Теорема. Если на промежутке

a,b

функции

f x

непрерывны, а при

b испытывают разрыв второго

рода

удовлетворяют

условию

0 f

x ,

то

из

сходимости интеграла

x dx следует сходимость интеграла

f x

dx ,

а из

расходимости интеграла

x dx

следует

расходимость интеграла

x dx (без доказательства).

Теорема. Если на промежутке

a,b

функции

f x

непрерывны, а при

b испытывают разрыв второго

рода,

и, кроме того, существует конечный предел lim

k ,

где 0 < k < , то оба интеграла одновременно сходятся или одновременно расходятся.

Пример 3.13. Исследовать сходимость интеграла

1	dx
	dx		.

	sin 2
0	sin 2	x
0
		1		dx
	Решение: Рассмотрим интеграл сравнения				. Можно
	Решение: Рассмотрим интеграл сравнения			x 2	. Можно
		0		x 2
		0

показать, что интеграл сравнения расходится:

1 dx

lim

lim 1

0 x

Обе подынтегральные функции испытывают разрыв

второго

рода

при

0 .

Так

как

предел

lim sin

lim

1 ,

то

оба

интеграла ведут себя

x 0

x 0 sin

x 2

одинаково в смысле расходимости, т.е. исследуемый интеграл расходится.

3.11. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов.

Если функция f x непрерывна на a,

или a,b и

имеет на этом промежутке произвольный знак, то несобственный интеграл может сходиться абсолютно или условно. Несобственный интеграл называется абсолютно

сходящимся, если сходится интеграл от функции f (x) . Сама

функция f(x) называется при этом абсолютно интегрируемой на соответствующем промежутке.

Источник: https://studfile.net/preview/16563680/

Смотрите также:

4853
Оценка устойчивости наземных телекоммуникационных сетей связи
Проектная деятельность как средство формирования регулятивных универсальных учебных действий у младших школьников