Материал: Начала математического анализа. Часть 2. Горбунов В.В., Соколова О.А

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

положение, то, очевидно, будет меняться и площадь изменяющейся криволинейной трапеции, т.е. S S b . В определѐнном интеграле переменную интегрирования можно обозначить любым другим символом, например t :

b		b
	f (x)dx	f (t)dt S b .
a		a
Рассмотрим отрезок с переменным верхним пределом			a, x ,
		x
где a x b . Тогда	определенный интеграл f (t)dt		S x

оказывается функцией переменного верхнего предела интегрирования

( x) f (t)dt .

Теорема Барроу: Если функция f x непрерывна на

отрезке	a, b , то производная от функции (x) равна f x ,
т.е. (x)	есть первообразная для f(x) на a, b :
	(x) f (x) .

Другими словами: производная от определѐнного интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной

функции,		в	которой	аргумент t		заменяется		на	x :
		f (x) .
f (t)	t x	f (x) .
f (t)	t x
	Доказательство:
	Для	нахождения		производной			(x)	назначим
приращение			x для верхней		границы интегрирования				x и
найдѐм приращение функции					(x) :
					x	x	x
		(x)	(x	x)	(x)	f (t)dt	f (t)dt .
					a		a

Переставляя местами пределы интегрирования во втором интеграле и используя свойство аддитивности 4, получим:

(x)

f (t)dt .

Применяя теорему о среднем к отрезку

x, x

x , имеем:

(x)

f (c) x ,

где

c является

некоторой

внутренней

точкой

отрезка

x, x

x .

Производная

(x)

находится

непосредственным

образом:

(x) lim

(x)

lim

f c x

lim f (c)

f x ,

поскольку при x 0 c x . Последнее		соотношение и
является доказательством того, что	функция	(x) является
первообразной для f(x), непрерывной	на a, b .

Из теоремы Барроу следует, что неопределенный интеграл может быть представлен с использованием определенного интеграла с переменным верхним пределом:

		x
f (x)dx	(x) C	f (t)dt C .
		a
3.6. Формула Ньютона-Лейбница
Пусть функция y	f x интегрируема на отрезке a, b .

Тогда способ вычисления определенных интегралов может быть получен с помощью формулы Ньютона-Лейбница.

	Теорема:	Если	функция		f	x	непрерывна		на	отрезке
a, b	и F x есть какая-либо ее первообразная, то имеет место
формула Ньютона-Лейбница:
		b
			f (x)dx F (b)				F (a) .
		a
	Доказательство. Согласно теореме Барроу
			x
			f (t)dt		F x		C ,
			a
где	F x является		первообразной для					функции		f x .
Постоянную величину C легко определить, положив x										a :
	a
		f (t)dt	0	F a	C или C			F a .
	a
		x
	Поэтому:		f (t)dt F ( x)			F (a) .		Это	равенство
		a
справедливо для любых				x	a,b .		Положив x b , получим
формулу Ньютона-Лейбница:
	b						b
	f (t)dt F (b)			F (a)	или		f (x)dx	F (b)	F (a) .
	a						a
	Формула	Ньютона-Лейбница					представляет		удобный

способ вычисления определенного интеграла: сначала находится первообразная, затем вычисляется разность значений первообразной на концах отрезка a, b .

Пример 3.2. Вычислить определенный интеграл

5e ln x dx

Решение:

ln x dx

ln x

ln 5e 2

ln e 2

ln x d ln x

e 2

			1	ln 5 1 2	1		1	ln2 5 2 ln 5 .
2				ln 5 1 2	1	2		ln2 5 2 ln 5 .
2						2
	Пример 3.3.					Вычислить			определенный интеграл

2
	esin x cos x dx.
0
	Решение:

2					2
		esin x cos x dx				esin x d sin x			esin x	2	e 1 .
										2
0					0					0

3.7. Интегрирование по частям в определѐнном интеграле.

Пусть функции u(x) и v(x) непрерывно дифференцируемы на отрезке a, b . Дифференциал произведения функций равен

d(uv) udv vdu .

Интегрирование этого тождества на отрезке a, bдает

b		b
udv (uv)	ba	vdu .


a		a

Раскрывая дифференциалы, фигурирующие в равенстве, получаем формулу интегрирования по частям в определенном интеграле:

b		b
v ( x)u( x)dx u( x)v( x)	ba	v( x)u ( x)dx .


a		a

Подобно тому, как в неопределенном интеграле выделяются три случая представления подынтегрального выражения в виде произведения u и dv , так же и при интегрировании по частям в определенном интеграле появляются три варианта.

Пример 3.4. Вычислить

x sin xdx.

Решение:

	x sin xdx	u	x,	du	dx
		dv	sin xdx,	v	cos x
0

sin x 0 .

Пример 3.5. Вычислить

x ln xdx.

Решение:

ln x,

x ln xdx

xdx,

x 2

1 e2

определенный интеграл

x cos x	0	cos x dx
		0

определенный интеграл

x2 ln x			e	e	x2 dx
2			1	1	2x
	1	.
4		.
4

3.8. Замена переменной в определѐнном интеграле

				b
	Пусть	для вычисления		интеграла f ( x)dx ,	где	f(x) –
				a
некоторая		непрерывная	функция, требуется сделать			замену
x	(t) .
	Теорема. Если:
	1) функция x		t	и ее производная	x	t
непрерывны на отрезке			,	,

Источник: https://studfile.net/preview/16563680/

Смотрите также:

4853
Оценка устойчивости наземных телекоммуникационных сетей связи
Правовой режим дотаций из федерального бюджета
Проектная деятельность как средство формирования регулятивных универсальных учебных действий у младших школьников