Материал: Начала математического анализа. Часть 2. Горбунов В.В., Соколова О.А
отрезка |
a, b |
от b |
к a |
в интегральной сумме меняется знак |
|
каждого |
xk |
на противоположный. |
|
||
4. |
Свойство |
аддитивности: |
Если функция y f x |
||
интегрируема на отрезке |
a, b и a<c<b, то |
||||
|
|
b |
|
c |
b |
|
|
f (x)dx |
f (x)dx |
f (x)dx , |
|
|
|
a |
|
a |
c |
т.е. интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по частям этого отрезка.
Доказательство:
При разбиении отрезка a, b на части точка с включается в число точек деления, т.е. xm c . Интегральная сумма разбивается на две суммы:
|
n |
|
|
m |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
f ( k ) xk |
|
|
f ( k ) xk |
|
f ( k ) xk . |
|
||||
|
k 1 |
|
|
k |
1 |
|
k m 1 |
|
|
|
||
Каждая из указанных сумм является интегральной |
||||||||||||
суммой для отрезков |
a, b , |
a, c , c,b . Перейдем к пределу в |
||||||||||
последнем равенстве при n |
|
и max |
xk |
|
0 : |
|
||||||
b |
|
n |
|
|
|
m |
|
|
|
|
n |
|
f (x)dx |
lim |
f ( |
k ) |
xk |
lim |
f ( k ) |
xk |
lim |
|
f ( k ) xk = |
||
a |
n |
k 1 |
|
|
m |
k 1 |
|
|
n |
k |
m 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
c |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x)dx |
f (x)dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
a |
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Свойство 4 справедливо при расположении точки c |
вне |
|||||||||||
отрезка |
a, b , если |
функция |
f x |
продолжает оставаться |
||||||||
интегрируемой на каждом из получающихся отрезков. |
|
|||||||||||
5. Если функция |
f (x) |
0 интегрируема на отрезке |
a, b |
|||||||||
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(a<b), то |
f (x)dx |
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a
61
Доказательство:
n |
|
Каждое слагаемое интегральной суммы |
Af ( k ) xk |
k |
1 |
неотрицательно, поэтому интегральная сумма тоже является неотрицательной. Предел неотрицательной величины не может быть отрицательным, поэтому
|
|
b |
|
n |
|
|
|
|
|
|
f (x)dx |
lim |
f ( |
k ) xk |
0 . |
|
|
|
|
a |
n |
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6. Если f(x) и g(x) интегрируемы на отрезке |
a, b |
(a<b) и |
||||||
удовлетворяют на нѐм равенству |
f (x) |
g(x) , то |
|
|
||||
|
|
b |
|
b |
|
|
|
|
|
|
f (x)dx |
g(x)dx . |
|
|
|
||
|
|
a |
|
a |
|
|
|
|
Доказательство: |
|
|
|
|
|
|
||
Так как g(x) |
f (x) 0 |
для всех |
x из отрезка |
a, b , то |
||||
по свойству 5: |
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
b |
|
b |
|
|
|
|
g(x) |
f (x) dx 0 |
g(x)dx |
f (x)dx 0 |
|
|
|||
a |
|
a |
|
a |
|
|
|
|
b |
|
b |
|
|
|
|
|
|
или f ( x)dx |
g( x)dx . |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
a |
|
|
|
|
|
|
7. Если |
f(x) |
интегрируема |
на отрезке |
a, b |
и |
a<b, то |
||
модуль определенного интеграла не превосходит интеграла от модуля подынтегральной функции, т.е.
b |
b |
|||
f (x)dx |
|
f (x) |
|
dx . |
|
|
|||
a |
a |
|||
Доказательство: Поскольку модуль суммы слагаемых не превосходит сумму модулей этих слагаемых, то
n 1 |
n 1 |
||
f ( xk ) xk |
|
f ( xk ) |
xk . |
k 0 |
k 0 |
||
62
|
Переходя в |
обеих частях неравенства к пределу при |
||||||
max |
xk 0 , получим формулу |
|
|
|
|
|||
|
|
|
b |
|
b |
|||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
f (x)dx |
|
|
f (x) |
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
a |
|
a |
|||
|
8. Если функция f(x) интегрируема на a, b (a<b) и числа |
|||||||
m и |
М являются |
наименьшим |
и наибольшим значениями |
|||||
функции |
f x на отрезке |
a, b , т.е. выполняется неравенство |
m f (x) |
M , то |
|
|
|
b |
|
m(b a) |
f ( x)dx M (b a) . |
a
Доказательство:
Проинтегрируем неравенство m 
f (x) M по отрезку a, b . При интегрировании воспользуемся свойством 6. В результате получим:
|
b |
|
b |
b |
|
|
|
mdx |
f (x)dx |
|
Mdx или |
|
a |
|
a |
a |
|
b |
b |
b |
|
|
b |
m dx |
f ( x)dx M dx m(b a) |
f ( x)dx M (b a) . |
|||
a |
a |
a |
|
|
a |
Если |
f x 0 , |
то |
свойство |
8 |
допускает наглядную |
геометрическую интерпретацию: площадь криволинейной трапеции, соответствующей определенному интегралу
b
f (x)dx , заключена между площадями прямоугольников с
a
отрезком a, b в основании и высотами, равными m и M , как показано на рисунке 6.
63
y
y 
f x
M
m
O a |
b x |
Рис.6.
Данное свойство используется для оценки определенного интеграла.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
dx |
|
|
|||
Пример 3.1. Оценить интеграл: I |
|
|
. |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 1 tgx |
|
|||||
Решение: |
Поскольку |
на |
отрезке |
|
|
0, |
|
|
|
выполняется |
||||||||||
|
|
4 |
|
|
||||||||||||||||
неравенство |
1 |
|
1 |
|
1, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2 |
|
1 tgx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
8 |
0 1 |
tgx |
4 |
|
|
|
|
|
|||||||
9. Теорема о среднем для определѐнного интеграла. |
||||||||||||||||||||
Теорема: |
Если |
функция |
f x непрерывна на отрезке |
|||||||||||||||||
a, b , то внутри отрезка найдется хотя бы одна точка c такая, что
b
f (x)dx 
f (c)(b a) .
a
Доказательство: Полагаем, что a<b. Так как функция непрерывна на отрезке a, b , то она достигает на нѐм своего наибольшего М и наименьшего m значений: m 
f (x) M .
64
Проинтегрировав это неравенство в пределах от а до b, получим:
b
m(b a) 
f ( x)dx M (b a) .
a
После деления на (b-a)>0 имеем:
|
|
1 |
|
b |
m |
|
|
f (x)dx M |
|
|
|
|
||
|
|
|
||
|
b |
|
a a |
|
Так как функция f(x) непрерывна на отрезке a, b , то она принимает любое промежуточное значение, заключѐнное
|
|
|
|
|
1 |
b |
|
|
|
между m и M . |
Поэтому |
|
f (x)dx - |
одно из значений |
|||||
|
|
||||||||
b a a |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
функции f(x) на |
a,b , т.е. |
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
b |
|
|
b |
|
|
f (c) |
|
|
f ( x)dx или |
f (x)dx |
f (c)(b a) . |
||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|||||||
|
b |
|
a a |
|
|
a |
|
||
Геометрический смысл теоремы о среднем состоит в том, что криволинейная трапеция, соответствующая определенному
b
интегралу f (x)dx , равновелика прямоугольнику с длиной
a
основания (b-a) и высотой f(c).
3.5. Определѐнный интеграл с переменными верхним пределом.
Пусть неотрицательная функция |
f(x) интегрируема на |
|
|
b |
|
отрезке a, b . Тогда |
f (x)dx S |
представляет число, |
a
соответствующее площади криволинейной трапеции. Если верхний предел интегрирования b будет менять свое
65