Корреляционные методы |
523 |
при фиксированных внешних силах имеет более двух устойчивых форм равновесия. Тогда при достижении значения цв снизу может осуще ствляться любое из двух или нескольких устойчивых положений. Выбор не может быть сделан на основании квазистатических соображе ний. Неопределенность устраняется, если рассмотреть нагружение с ко нечной (хотя и малой) скоростью и ввести в рассмотрение начальные условия. Решив детерминистическую задачу, можно затем применить квазистатический метод. Квазистатический метод может быть исполь зован также для расчета на действие динамических нагрузок, если по следние представляют собой вырожденные случайные процессы, т. е. выражаются через детерминистические функции, зависящие от конеч ного (практически — весьма небольшого) числа случайных параметров. Примеры применения метода к задачам о Динамическом «хлопке» обо лочек даны в книге [4].
КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
Общая характеристика корреляционных методов. Корреляционные методы основаны на нахождении явных зависимостей искомых функций (обобщенных координат) от возмущающих обобщенных сил и на после дующем применении операции статистического осреднения. В случае линейной системы с постоянными параметрами эти зависимости могут быть найдены точно — в виде интегралов. В случае нелинейной или параметрической системы эти зависимости находят приближенно — на основе методов нелинейной механики (метода линеаризации, метода малого параметра и т. п.).
Другая разновидность корреляционных методов — метод моментов—
заключается в |
применении операции |
осреднения непосредственно |
к стохастическим |
уравнениям движения. |
В случае линейной системы |
этот метод позволяет получить замкнутую систему уравнений для моментов искомых функций. В случае нелинейной или параметрической задачи получить такую замкнутую систему не удается. Для решения задачи приходится вводить некоторые статистические гипотезы, в соот ветствии с которыми корреляционные моменты более высокого порядка выражаются через моменты низшего порядка. Таким способом «усекают» бесконечную последовательность уравнений для моментов.
Корреляционные методы. Пусть цх (/), цг (/)» • • •, Яп (0 — не которые случайные функции времени /. Чертой сверху обозначим осред
нение по ансамблю |
реализаций. Будем считать также, что средние |
значения функций |
(*) = 0 (этому требованию легко удовлетворить, |
вводя соответствующее преобразование функций). Рассмотрим ха рактеристики процесса, образуемые по следующим правилам:
|
К„а„ЛЧ. |
Я» ((.У |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
(14) |
|
( а , Р , |
у = 1, 2 , |
|
п ) |
|
и т. д. Здесь 1Ъ |
/2— произвольно |
выбираемые |
моменты |
времени. |
|
Характеристики Кч^ (/р /2)* ^яая&яу (*!• *2» *з) |
1 |
т* А |
называют |
||
корреляционными |
функциями второго, третьего |
и |
т. д. |
порядка. |
|
|
Корреляционные методы |
525 |
Функции |
(со) называют совместными спектральными |
плот |
ностями процессов <7а (/), {(). Они характеризуют распределение энергии процесса по частотам и весьма удобны для качественного и ко личественного исследования случайных колебаний в системах. Если процесс содержит периодические составляющие, то спектральные плот ности будут иметь особенности типа дельта-функций.
Аналитические выражения, используемыедля корреляционных функций и соответствующих спектральных плотностей некоторых слу чайных процессов, приведены в табл. 2. Корреляционные функции
2. Некоторые аналитические выражении, используемые для описания корреляционных функций и соответствующих спектральных плотностей
Корреляционные методы |
527 |
возникает вопрос об определении точности получаемых оценок. Погреш ность здесь связана, во-первых, с конечной длиной реализации Т Во-вторых, практическое вычисление интегралов (18), (19) для реали заций я (/), заданных в графической или табличной форме, связано с переходом от интегрирования к суммированию. Как правило, эти вычисления выполняются автоматически, при помощи механических, фотоэлектрических и электронных корреляторов.
Кроме того, иногда для некоторого улучшения оценок (18), (19) в подынтегральные выражения вводят специальным образом подбирае мые весовые функции а (*), а. (/, т).
Точность оценки я* математического ожидания ц характеризуется ее среднеквадратическим отклонением о т. Эта сценка является несме
щенной, т. е. |
математическое ожидание |
величины |
«7* совпадает с |
Для величины а2т справедлива формула |
[20] |
|
|
" |
+ Т |
Т |
|
о2т _ |
= - г |
! |
(20) |
. |
10 |
о |
|
Задаваясь допустимой величиной огп и подставляя в формулу (20) вместо Кдд (т) ее оценку (19), получаем минимальную длину реализа ции 71, обеспечивающую принятую степень точности оценки математи ческого ожидания.
При определении точности оценки корреляционной функции (19) могут встретиться два случая: 1) когда я известно и 2)_когда я неиз-
вестно и в выражении (19) вместо я используется оценка я*. В случае 1 оценка (19) для (т) является несмещенной. Выражение для ее сред
него квадрата о\ отклонения приведено в работе [20]; из этого выраже
ния получается |
следующая |
простая оценка |
сверху: |
|
< |
2^ , ( 0) V |
< 2^ |
( 0) ] / | ^ ; |
(21) |
здесь Тх — такой интервал времени, что для т> - Тх корреляционную функцию Кдд (т) можно считать практически равной нулю. В случае 2 оценка (19) для при отсутствии специальных поправок оказы вается смещенной. Выражения для математического ожидания и сред него квадрата отклонения этой оценки приведены в книге [20]. В этой же книге приведены аналогичные формулы для оценки точности замены интегрирования суммированием, а также формулы для оценки точности определения взаимных корреляционных функций двух случайных про цессов.
Определение спектральной плотности стационарной эргодической случайной функции по опытным данным. Спектральные плотности слу чайных процессов определяют либо по экспериментально найденной корреляционной функции, либо непосредственно при помощи системы узкополосных фильтров. Формулы, определяющие точность оценки
528 Статистические задачи колебаний и устойчивости
по первому способу, приведены в книге [20]. При практическом вы числении интеграла (18) интегрирование заменяют суммированием. Максимально допустимая величина промежутка АГ, на которые разби вается интервал времени 7\ может быть определена согласно теореме В. А. Котельникова
Д Г ^ — ; |
(22) |
здесь со0 — такое значение со, что при |®| ^ |
функцию Ф (со) можно |
практически считать равной нулю. |
|
ПРИМЕНЕНИЕ КОРРЕЛЯЦИОННЫХ МЕТОДОВ К ИССЛЕДОВАНИЮ КОЛЕБАНИЙ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ
Реакция линейной системы на действие случайных сил. Пусть урав нения движения линейной системы с т степенями свободы приведены к главным координатам, в которых неизвестные разделяются. Обозна чим через (?а (0 входы, через оа (/) — выходы линейной системы (а = = 1, 2, . ., т), а через На (0 — реакции на единичные импульсы, при ложенные в момент / = 0. Решение стохастических уравнений, удовле
творяющее нулевым начальным условиям при I = |
записывают в виде |
||
I |
|
|
|
(0 = [ На V ~ т) <?« (т) й т (а = 1, |
2.......... т). |
(23) |
|
Отсюда получаем формулы |
|
|
|
^ а ° в |
^з) = |
|
|
/. и |
|
|
|
= | ] Иа (< 1 — т1 ) Н’№ ~ т*) %,<?„ <т1 - |
тг)* 1 |
(24) |
|
*0 |
|
|
|
и аналогичные формулы для корреляционных функций более высоких порядков (звездочки означают комплексно сопряженные величины). Для стационарных случайных процессов из соотношения (24) получаем
формулу, связывающую спектральные плотности входа |
и выхода |
|
Ф< у У а > |
(25) |
|
р а ('<■>) («*>) |
||
|
||
здесь Ра (Ш) ( а = 1, 2...........т) — передаточные функции |
линейной |
системы. Формула (25) и входящие в нее функции имеют прозрачный физический смысл и весьма удобны для вычислений; эта формула имеет многочисленные технические приложения в области теории автоматиче ского управления, теории связи и т. п.