Материал: Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Квазистатические методы статистической динамики

519

Определение вероятности отказа. Допустим, что области нарушения нормальных условий эксплуатации принадлежат точки в пространстве

Ох, у2» ■•		•»	Для которых V («!, о2,		у„) >		0. Тогда вероятность
отказа (см. также гл. 8, т. 1) определяют по формуле
		р = [ • • • [ Р (и1.		“п)	4ог		а«п	(6)
			^>0
Эту вероятность можно найти также иначе						[4]. Если области V (г^,
у2,	•.	Уп) !> 0 соответствуют		в пространстве			и1, и2, . .	ит, щ1%
Яг* •	•. Яг, область 'К, К , ы2, .			ит,	Я1. Яг*		•. Яг) >	0, то
		р ==1 ‘ “ ]			Яи	Яг’	•• ^ *
			ЧГ1>0
			Х4щ(1и2.	.й и т йЯ1.		. &Яг-		(7)

Задачи, связанные с обработкой и интерпретацией опытных данных. Пусть независимыми случайными величинами являются внутренние параметры системы и1г и2, ., ит. Требуется найти совместную плот ность вероятности для предельных значений параметров 01э ^2, . . щг.

Будем обозначать эти предельные значения через </2* • » Яг» Допустим, что известны детерминистические соотношения между пара

метрами <7^ <72,			<7Г и внутренними				параметрами		конструкции иь
м2,		-1 ит) а также совместная плотность вероятности								р (мх, и2,
.		ит). Пусть далее г<^т			и, кроме того,			существуют однозначные
и	непрерывные		зависимости
“а	=	и а (?’>	.......... я\, иг+1............ ит)				(о = 1, 2,			г);	(8)
тогда совместная плотность вероятностир (<7*,									?*) может быть
найдена по формуле типа				(3):
			Р (я\,		Ч1	Яг) =
			\р (1 > I. У*.						Пт) X
			а(Уь	у г,	.. •• Уг)		диГ4-1. .. дищ-				(9)
			а(<7*, я\.		«’)
	Некоторые ограничения, накладываемые							на зависимости (9), могут

быть легко сняты. Случай, когда однозначная зависимость отсутствует, рассмотрена книге [4].

Рассмотрим обратную задачу: по заданному распределению вероят ностей для предельных нагрузок найти распределение вероятностей для внутренних параметров оболочки. Решить эту задачу можно

520	Статистические задачи колебаний и устойчивости
по формулам типа (3), (5) и (9). Пусть,			например, г = т, а зависимости
=	<?а(“1. “2-	■’ ит) однозначны	и непрерывны. Тогда

Р («].

ит) = р (<?;.		<?;.	<?ш) X
^ 2'	*»	Ф/л	(10)
д(ии «2,		ит)

	Распределение вероятностей для предельных сил р		д2,*	д*)
можно получить, исходя из формулы (7). Допустим,			что параметры
Я\*	•» Яг фиксированы и равны дх, <72,	цг	соответственно.

Тогда получим следующее выражение для условной вероятности отказа:

Р ( * | ^1» 72» 7Г) —

	- И		Р ( « 1 .	ит) йих с1ий. . йит\ (11)
			Р ( « 1 .	ит) йих с1ий. . йит\ (11)
(«Г	и2‘	т V '2-	о >
Формула (11) дает по существу совместную функцию распределения
для	д2,	Яг■ Для	совместной	плотности	вероятности имеем
формулу
	р (ч1	я\,	дгР ( * \д \ ,д \,		■■,<?*)
	р (ч1	я\,			( 12)
				дЧ\дя:2...дч,

Примеры применения квазистатических методов. Ряд работ [3, 12, 22, 23] посвящен следующей задаче: пластинку или оболочку нагружают внешними силами, заданными с точностью до одного общего множи теля — параметра д. Этот параметр весьма медленно (квазистати чески) и монотонно возрастает от нуля до некоторого конечного значения. Требуется найти распределение параметров деформации

(обычно — обобщенных	координат,	характеризующих	нормальный
прогиб), достигаемое к	концу процесса нагружения.		В статье [3]
рассмотрена задача о распределении		вероятностей полного прогиба

упругой пологой цилиндрической панели со смещающимися кромками, сжатой осевыми силами интенсивностью д. Параметр начального прогиба считают случайным, параметр нагрузки — детерминированным. Вероятность «хлопка» для той же задачи вычислена в статье [3] в пред положении, что начальные прогибы подчиняются симметричному нор мальному распределению со стандартом аи. Эта вероятность показана на рис. 4 как функция нагрузки. Здесь Р (* ) — вероятность «хлопка»; д — величина осевого усилия.

Задача о распределении критических сил подверглась наиболее подробному исследованию (3, 12, 22, 23]. В простейшем случае, когда

Квазистатические методы статистической динамики

521

нагрузка задана с точностью до одного параметра а неправильности — с точностью до одного параметра и, формула (9) принимает вид [3, 4]

р \ и ш )	д_иш I
Р (<7*) =	дя* I	(13)
Р (<7*) =		(13)

Переиормировочный множитель в знаменателе учитывает то обстоя

тельство,	что	«хлопок»	возможен	определенном диапазоне
изменения	параметра ин <±и<^ ив.			о)
Здесь <7к и <7д — нижнее			и верхнее	о)
критические		значения	нагрузки
соответственно.

Значения математического ожидания ^ вычисленные для симме тричного нормального распределения параметра и при среднем квадра тическом значении а и =0,1Л и аи — 0.25Л (к — толщина панели), приведены в табл. 1. Имеет место удовлетворительное совпадение вы численных значений и тех данных, которые обычно приводят экспери ментаторы. Дальнейшее изучение теоретических законов распределения критических сил было выполнено Б. П. Макаровым (21—231. Он рас смотрел различные случаи нагружения оболочек, использовав при этом известные результаты решения соответствующих детерминистических задач. Законы распределения вероятности р (<7*) для цилиндрической

1. Математические ожидания критической нагрузки для пологой цилиндрической панели

		_
	п*	—	в °/	Ф - в %
	п*	<1в
		<1в
0.1	4,84		67	146
0,25	4,50		62	136

522 Статистические задачи колебаний и устойчивости

оболочки при всестороннем сжатии при различных предположениях относительно начальных прогибов показаны на рис. 5 (/ — равномер ное в интервале 0 ^ и ^ ин распределение; 2—4 — нормальные рас пределения со стандартом си = 0,3 и различными значениями сред

него и). Из графика следует, что распределение начальных прогибов сильно влияет на распределение критических сил. Аналогичные кривые

рШ	для	цилиндрической					обо-
	лочки при			осевом сжатии
	показаны на рис.					6	(кри
	вые обозначены:					/ — при
	ц = 0,1,		етм=0,05;			2—при
	и =	0,1,	аи= 0,1;			3— при
	и = 0,05,			0^—0,05;			4—
	при	а= 0 ,		Стц=0,05;			5 —
	при	и — 0,05,			Оы=0,1).
	Распределение				параметра
	начального			прогиба			пред
	полагалось			нормальным:
						з
		" Ч	т	г ) "	2'
Рис- 6	где	10о — начальный					про
	гиб;	п — число				волн в

окружном направлении; т — отношение	длин полуволн в окружном
и продольном направлениях. Некоторые	кривые имеют	два экстре
мума: один — вблизи нижнего критического значения,		другой — не

сколько смещен в сторону верхнего критического значения.

рис. 7

В работе [21 ] Б. П. Макаров дал статистический анализ 222 резуль татов испытаний цилиндрической оболочки на осевое сжатие, собранных в работе Гарриса, Шуэра, Скина и Бенджамена [51] (в этой статье авторы ограничились построением кривых, соответствующих 10% и 1%

вероятности «хлопка»). На рис. 7 показаны гистограммы для крнти-

ческих усилий в различных интервалах изменения		В области ма-
лых V?	гистограммы имеют два максимума, что согласуется с теорети
ческим	выводом, полученным в статье [22].

Замечания о применении квазистатического метода к динамическим задачам. Ряд задач не допускает квазистатической трактовки даже при сколь угодно медленном нагружении. Пусть, например, оболочка

Источник: https://tut-files.ru/previewfile/74208

Смотрите также:



17. Введение 18. Линейные программы 19. Ветвления 20. Программирование циклических алгоритмов
Анализ эффективности инвестиций предприятия на примере ООО «СпецПримСтрой»
Сборные железобетонные ребристые плиты перекрытия
_-___-~1
_3 тема - Диффузия
_Роджерс Карл, Брак и его альтернативы
_Штерн Вильям, Дифференциальная психология и ее методические основы
- Описание типа СЭТ7009