Корреляционные методы исследования линейных систем |
529 |
Колебания систем с конечным числом степеней свободы под дей ствием случайных сил. Допустим, что движение механической системы описывается уравнениями
Оа+ 2гаыаиа + “аиа= СО(а= 1 , 2 , .. .), |
(26) |
где еа — коэффициенты демпфирования; юа — частоты |
свободных |
колебаний; точками обозначено дифференцирование по времени. Фор мула (25) принимает вид
Ф„ ’Э (©) |
|
Ф, |
(27) |
|
(са2 + 2*еасоюа — (О2) (о)р — 2ш&рй>р — со2) |
||||
|
||||
По санкции |
^ |
(со) можно определить вторые моменты обобщен |
||
ных координат. |
Учитывая, |
|
||
получим, применяя |
обратное преобразование Фурье, |
|
||
|
|
оо |
|
|
|
|
^ = 4 1 ®к,в.в (т ) л в - |
(28) |
|
Формула для вторых моментов производных обобщенных коорди
нат имеет вид |
|
|
|
|
ис1^а1/ц ас11ип{ |
| |
г |
. . . |
(29) |
-------------= |
-1 |
ф.( |
(СО) (ш)*+/ Асо. |
|
А1к Л11 |
2 |
^ |
|
|
Вычисление интегралов (28) и (29) для случаев, когда Ф -,^ (ш)
определяется соотношением (27), а спектральные плотности обобщен ных сил Ф0 0 (со) являются дробно-рациональными функциями,
может быть выполнено при помощи теоремы вычетов. В приложении к книгам [24, 26) содержатся таблицы интегралов вида
1 - 1 &.(»*>) ^
где кп (х) и дп (*') — полиномы. При помощи этих таблиц можно опре делять средние квадраты обобщенных координат и их производных.
Изложенная схема решения может быть использована и для опреде ления моментов высших порядков. Если распределение обобщенных сил является нормальным, то распределение обобщенных координат и их производных также является нормальным. Поэтому их моменты высших порядков могут быть выражены через моменты второго порядка.
Корреляционные методы исследования распределенных систем 531
В табл. 3 приведены формулы для вторых моментов обобщенных координат и скоростей системы (26) для случая, когда 0а (() — белые шумы с интенсивностями Оаа и взаимными интенсивностями Оар. При
этом Оаа = Фаа/л, ОаЗ = Фар/л. гДе Фаа» Фа0 — спектральные плот ности и взаимные спектральные плотности соответственно. Из фор
мул табл. 3 следует, что при малых значениях коэффициентов затуха ния, характерных для упругих систем (еа < 1), взаимная корреляция различных обобщенных координат и скоростей оказывается заметной лишь при весьма близких значениях частот 0)а и ©р. Например, при еа = ер = е
— ___________2Раре (ша + сар)________
(30)
К- °>р) + 4е2й>а“ р ( “ а +
Следовательно, если
2е V < | соа — свв |,
то значения уао$ оказываются пренебрежимо малыми по сравнению с главными элементами матрицы вторых моментов.
Если демпфирование мало, то для средних квадратов обобщенны координат может быть дана приближенная формула
2 __ пФУа<1а |
(31) |
Vа
4еа»а
ПРИМЕНЕНИЕ КОРРЕЛЯЦИОННЫХ МЕТОДОВ К ИССЛЕДОВАНИЮ КОЛЕБАНИЙ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ
Уравнения колебаний линейных распределенных систем. Эти урав нения могут быть записаны в виде
= у;
здесь <и>(.х, у, г, /) — вектор перемещений; щ (х, у, г, /) — вектор на грузок; Ь — некоторый линейный оператор. Пусть компоненты век тора у являются случайными функциями координат и времени с извест ными вероятностными характеристиками. Задача состоит в определении вероятностных характеристик вектора о» и его производных по коорди натам и времени. Для простоты в дальнейшем будем рассматривать уравнение
= у, |
(32) |
где ю и у — скалярные функции координат и времени. Уравнение (32) можно трактовать как «разрешающее» уравнение в теории колебаний стержней, пластинок и оболочек.
Сведение к системе с конечным числом степеней свободы. В соответ ствии с этим методом перемещение ни представляется в виде разложения в ряд по формам собственных колебаний — по собственным функциям Фа (*» У, 2) оператора
со |
|
ш = 2 «О (0 Фа (*. У. г). |
(33) |
а=1 |
|