Корреляционные методы исследования распределенных систем 533
Статистические характеристики случайных нагрузок. Для решения практических задач в рамках корреляционной теории необходимо знать
математическое |
ожидание |
ц (х, |
у, г, /) и корреляционную функцию |
||
Кд(хг, Ух» гх» |
Уч» |
гг» У |
нагрузки или |
в случае эргодичес- |
|
кой стационарной нагрузки — спектр |
пространственных корреляций |
||||
С*1» У\> *Г> |
*2» У2. 22; |
со). В |
случае |
нагрузок, |
вызванных акусти |
ческими шумами, турбулентными пульсациями давления в пограничном слое, нерегулярным волнением моря, спектры давления в отдельных точках поверхности находятся из эксперимента. Соответствующие дан ные приведены в работах [17, 19, 42, 43, 57]. В задаче о движении авто мобиля по неровной дороге спектр возмущений может быть вычислен по спектру длин волн неровностей, определенному путем геодезических измерений.
Полное экспериментальное определение корреляционной функции или спектральной плотности пространственно-временного случайного процесса связано, как правило, со значительными трудностями. По этому для приближенных оценок обычно используют простейшие аналитические зависимости. Некоторые из них указаны ниже.
Д е л ь т а к о р р е л и р о в а н н а я в п р о с т р а н с т в е н а г р у з к а . Это предельный случай нагрузки с весьма малым (по сравнению с длинами волн возбуждаемых форм колебаний) масштабом
пространственной корреляции. В этом случае |
|
|
Уи *1» *2. 1/2» V. |
&>) = |
|
= V (щ) 6 (х2 — хг) Ь {у2 — ух) Ь (г2 — гг), |
(39) |
|
где У (со) — заданная функция частоты; |
б (х) — дельта-функция. |
|
При использовании такой модели весьма упрощаются вычисления. Например, для спектральных плотностей Фд д^(а) в случае ортого
нальных |
форм собственных |
колебаний получаем, что |
|
|
Ф, |
(ш) = ЧГ(со) |
(40) |
П о л н о с т ь ю к о р р е л и р о в а н н а я |
в п р о с т р а н |
||
с т в е |
н а г р у з к а . Это |
противоположный |
случай большого (по |
сравнению с размерами конструкции) масштаба пространственной кор реляции. В этом случае спектр пространственных корреляций не зави сит от координат.
Н а г р у з к а в о л н о в о г о т и п а . Эта нагрузка характери зуется тем, что ее корреляционная функция зависит от времени и коор
динат |
через |
посредство |
параметра: |
|
|
||
|
|
т |
т |
* г — *1 |
У г — У 1 |
* » — * ! - |
|
|
|
|
1 |
сх |
Су |
сг |
* |
здесь |
сх, Су, |
сг — постоянные |
(скорости |
распространения волн на |
|||
грузки). В этом случае |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
*Г» |
0 ) = |
|
|
534 Статистические задачи колебаний и устойчивости
Нагрузки такого типа встречаются в задачах о воздействии на кон струкцию дальнего акустического поля или турбулентных гидродина мических пульсаций струи [43, 46, 49], о движении в статистически неоднородной среде, о движении нагрузки по мосту [4] и т. п.
А к у с т и ч е с к и е н а г р у з к и . Задача о колебаниях упру гих систем под действием акустического излучения работающих двига телей приобрела в последние годы большую важность в связи с так на зываемой проблемой «акустической усталости» конструкций [6, 43]. Экспериментальные данные по частотным спектрам пульсаций давления в различных точках акустических полей работающих двигателей приведены в работах (42, 43, 49]. Пространственную корреляцию в принципе можно рассчитывать в соответствии с теорией Лайтхилла [52], исходя из решения неоднородного волнового уравнения. В некоторых случаях, однако, пространственную корреляцию можно оценивать на основании чисто геометрических соображений [32].
Метод интегральных оценок. При применении корреляционных ме тодов к решению задач о колебаниях распределенных систем в ряде слу чаев возникают трудности, связанные с необходимостью проводить суммирование по весьма большому числу возбуждаемых форм колеба ний. Тогда эффективное приближенное решение может быть получено по методу интегральных оценок [4, 7, 39]. Суть метода заключается
впереходе от суммирования в формулах типа (36) к интегрированию
впространстве некоторых параметров. В соответствии с теорией дина мического краевого эффекта [5 ] такими параметрами являются волновые
числа кх, ку, кг форм колебаний.
Рассмотрим, например, пластинку, находящуюся под действием нормальной нагрузки. С учетом формулы (31) имеем
(41)
Согласно методу интегральных оценок выражение (41) приближенно
записывают в виде |
л |
|
|
|
|
|
|
<г |
я |
Д2 (кх, |
Ы Ф (кх, |
ки) |
йкх &ку\ |
(42) |
|
4Дкх Дку |
в (кх, |
ку) т3 (кх, |
ку) |
||||
здесь Д&х'= |
-2- Д |
а |
спектральная |
плотность обобщенных |
|||
сил Ф0 0 (ш), собственные частоты ша , коэффициенты демпфирова-
ния еа и коэффициенты влияния са трактуются как функции волновых чисел, принимающих все значения из первого квадранта.
Применения метода интегральных оценок. В случае пластинки по стоянной толщины, загруженной нормальной дельта-коррелированной на срединной поверхности нагрузкой с учетом формулы (40), получим следующую оценку для прогиба во внутренней области:
I 1 / Р |
\» ГТМА-. |
(43) |
~ 80а \ рЛ ) |
^ е (г) г ’ |
|
Корреляционные методы исследования распределенных систем 535
здесь Р — цилиндрическая жесткость; рк — плотность пластинки, отнесенная к единице площади срединной поверхности;
1
(44)
Для максимальных нормальных напряжений во внутренней области находим оцеику
а2 |
(3 + 2у + Зу’-) | |
Ч' (г) (1г |
’ |
(45) |
|
|
е(г)г |
|
где V — коэффициент Пуассона. Для максимальных напряжений в за делке имеем
|
|
|
1 |
|
|
О2 |
9 |
/_ 0 _ \ |
2 Г У (г)б.г |
(46) |
|
Ж |
\ рк ) |
] е (г) г |
|||
|
|
и т. д. В табл. 4 для ориентировки приведены формулы для средних квадратов о>2 и о2 и эффективной частоты
со
1С02Фд ((О) Й<0 |
2 |
(47) |
|
П |
|
входящей в формулы для определения долговечности при циклических нагрузках (см. гл. 8, т. 1). Формулы выведены для усеченного времен ного белого шума
Ч'(со)=( С 0 П 8 1 |
(со < |
|
(48) |
|
1 |
0 |
(йн или СО> (Од). |
||
Кроме того, введены |
обозначения |
|
|
|
|
1 |
( |
Р \ |
2 V |
|
ю 'р " V\ Рлр ь )/ |
> |
||
|
9 |
|
|
V |
|
1бк4 (3+2у + Зу2)-2_; |
|||
гн и вн — значения параметров |
г и е |
при |
со = (йн. |
|
В работе [39] рассмотрены другие случаи пространственной и вре менной корреляции, исследовано влияние инерции вращения и дефор маций сдвига, получены формулы для случайных колебаний оболочек, произведены подробные вычисления для сферической оболочки. Огра ничимся тем, что приведем формулу для среднего квадрата нормального
Корреляционные методы исследования распределенных систем 537
существует временное преобразование Фурье от пространственной кор реляционной функции нагрузки — спектр пространственной корре ляции (37). При сделанных предположениях об операторе Ь существует спектр пространственных корреляций для перемещений
Ух> гг\ х2, у2, г2\ ©) =
я Л ы){хъ уъ г1з ()и>(х2, у2, г2. * + т)е""/аугЛ .
--00
Можно показать, что функции Ф^ и Ф№связаны между собой соот ношением
|
|
Ц (т) Г2 ( — Ш) Фо, = Ф^, |
(50) |
в котором через |
(г'0 ) обозначен результат замены в выражении для |
||
оператора |
на |
х на х1%у на у1$ г на г1я Через Ь2 (—со) обозначен |
|
результат замены |
А на — /0 , х на х2, Уна у2, г на г2. Если ь является |
||
чисто временным оператором, то I (10) представляет собой передаточ ную функцию системы. Тогда уравнение (50) превращается в зависимость типа (25) между спектральными плотностями «входа» и «выхода» линей ной системы с конечным числом степеней свободы и постоянными пара метрами. Если же Ь является пространственно-временном оператором, то уравнение (50) является операторным уравнением. Так, если опера тор Ь является дифференциальным оператором по х, у, г, то уравне ние (50) превращается в дифференциальное уравнение в частных про изводных относительно функции Фц,, зависящий от семи переменных хх, Ух> г1? х2, у2, г2 и 0 . Граничные условия для этой функции вытекагот из граничных условий для функции т (х, у, г, I) и формулы (49).
Решение уравнения (50) может быть найдено по методу факториза ции. Рассмотрим частный случай оператора
1 = Ц + 2 , ± + ± , |
(51) |
где Ь0 — самосопряженный линейный оператор в пространстве коорди нат; е — положительная постоянная (коэффициент демпфирования)- Решение уравнения (51) имеет вид
_ V I |
т И Фа (*1. Ук г1> ФВ »*’ г»>. |
/« , |
|
Щ (<»п — т г + 21е<о)(и| — а>2 — 216® )’ |
|
здесь 0 а и ф0 — собственные значения и собственные функции опера тора Ь0 соответственно; аа$ (о) — коэффициенты разложения спектра пространственной корреляции нагрузки Ф^ в ряд Фурье по функциям
Фа (*1*1/г» ^1 ) ф(3 (*2 >У2 *гъ)- Решение (52) совпадает с формальным ре шением, получаемым в результате замены исходных уравнений в част ных производных бесконечной системой обыкновенных дифференци альных уравнений с последующим применением к ней стандартной