540 Статистические задачи колебаний и устойчивости
здесь | (0 — стационарная случайная функция, для которой
ш = 0; Е('0 Е(* + т)= /С (т).
Использование разложения (57) с последующим применением изло женной выше схемы вычислений дает с точностью до членов порядка р,4
а |
Г |
°>о |
1 |
ф), |
|
|
|
5Ш (<о0* + |
|
где ф — постоянная |
фаза, а |
|
|
|
^ ± = ^ К (т)е |
Рг/2 соз(о0 ± со^т Лт; |
|
||
В работе [16] показано, что если |
^ 0 при со > |
0, гдеФ (со) — |
||
спектральная плотность процесса |
— ^+^> 0. Следовательно, |
|||
при этом условии случайные изменения собственной частоты Приводят к уменьшению «в среднем» амплитуды колебаний.
Метод усреднения. Этот метод использует известные идеи Крылова— Боголюбова в теории нелинейных колебаний. Если исследуемый колеба тельный процесс имеет узкополосный спектр, то уравнения движения могут быть усреднены за «период» колебаний. Затем применяют либо корреляционную теорию, либо теорию марковских процессов. Подроб ное изложение метода усреднения применительно к случайным функ циям содержится в монографии [27], где рассмотрено большое коли чество нелинейных и параметрических задач.
МЕТОДЫ ТЕОРИИ МАРКОВСКИХ ПРОЦЕССОВ
Понятие о марковском процессе. Если движение системы описы вается стохастическими дифференциальными уравнениями, то эволю ция во времени совместной плотности вероятности неизвестных подчи няется, вообще говоря, некоторому дифференциальному или ннтегродифференциальному уравнению. Это уравнение будем называть кине тическим. Важный класс процессов, для которых применение кине тических уравнений позволяет получить содержательные результаты, образуют марковские процессы. Простой марковский процесс — это процесс без последействия, т. е. такой процесс, при котором распределе
ние вероятностей в момент |
зависит от распределения в предшеству |
|
ющий момент ^ |
^1 и не зависит от истории системы. |
|
Уравнение Фоккера—Планка—Колмогорова. В качестве простей шего примера рассмотрим простой марковский процесс с одной пере
менной х (/). Введем обозначения |
х = х ( 0 и хх = |
Можно |
показать, что если пределы выражений |
|
|
«А (0 = Нш |
(*Т— *)* |
(И) |
*->о |
т |
|
Методы теории марковских процессе |
541 |
существуют, то плотность вероятности р (х) подчиняется кинетическому уравнению
во
|
р (*) = 2 -^Г (~ |
)*1Х*(х)Р <*))• |
(6°) |
|
А= 1 |
|
|
Функции |
(х) называют интенсивностями марковского процесса. |
||
Из них к 1(х) |
характеризует среднее |
течение процесса; |
х 2 (х) — его |
дисперсию и т. д. Коэффициенты интенсивности связаны с корреляци онными функциями производной х(/) зависимостями
*2. *Л)= Х * (х ) б (* !-* .) б ( /! - /* ) + . . . (61)
(точками обозначены члены, содержащие более слабые особенности). Если все у./г (х) при /&> 2 равны нулю, то марковский процесс на
зывают непрерывным. Уравнение (60) принимает вид |
|
|
р (х) = — - ^ г К (*) Р (*)] + - | - • |
Iх®(*) р (*)1 |
(62) |
и носит название одномерного уравнения Фоккера—Планка. Оно опи^ сывает, например, случайное блуждание точки вдоль оси. Уравне ние (62) может быть обобщено на случай многомерных непрерывных
марковских |
процессов |
|
|
|
|
|
Р(Х1, |
|
■ |
Х $) |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
[ха (лч, |
х%. |
■ |
хв)р(х1, хг. ■ |
*5> ] + |
|
дха |
|
|
|
|
5 |
$ |
|
|
|
|
|
а2 |
|
|
*$) Р (XI. *2, |
*)]; (63) |
|
дхадхр [*а0 (*Ь *2. |
||||
здесь |
|
т |
(хах —ха) |
|
|
|
|
|
|||
|
|
->0 |
|
Т |
|
|
|
|
|
|
(64) |
Уравнение (63) называют обычно уравнением Фоккера—П ланка-
Колмогорова (уравнением |
ФПК). |
|
||
|
Пусть движение системы описывается стохастическими дифферен |
|||
циальными уравнениями |
|
5 |
(65) |
|
|
|
|
||
|
|
|
2 |
|
|
Ха + ёа (Х1....... хз) + |
*г Х$**^~ ^ |
||
|
|
|
Э-1 |
|
где |
(0 — независимые белые |
шумы; |
||
|
Ь Ш |
Ж |
) = |
6 (т) 6а/}. |