Методы теории марковских_ процессов |
543 |
2) п^> 1; /а — дУ!дьа\ еа — е — соп$1; са$ = с6а$. |
Тогда |
р = Сехр |
(70 |
Если уравнения (67) описывают колебания упругой пластинки или оболочки, то, как показано в статье [2 ], распределение (70) имеет место лишь в случае нагрузки, дельта-коррелированной в пространстве.
В остальных случаях нахождение решений уравнения ФПК свя зано, вообще говоря, со значительными трудностями. Решение в конеч ном виде молено получить для кусочно-линейных систем. Распределение получается «кусочно-гауссовским», удовлетворяющим некоторым усло виям на поверхности разрывов. Эти условия были установлены в ра
боте [34], где получены также |
решения для |
некоторых конкретных |
|||||
кусочно-линейных систем. |
|
|
|
|
|
|
|
В работе [15] рассмотрено уравнение |
|
|
|
||||
о + |
2«ш0а 4- |
|
[о + 4 |
^ |
= о (<). |
|
(71) |
Было принято, что процесс Ф (0 имеет спектральную плотность |
|
||||||
Ф(ш) =■ А |
____ 1 |
Ш0т0 < 1. |
|
|
|||
|
|
1 + 0 ^ |
’ |
|
|
|
|
Приближенное выражение для совместного распределения обобщен |
|||||||
ной координаты, скорости и ускорения имеет вид |
|
|
|||||
V) = |
1 |
- е х Л |
$ 1 2 |
|
|
||
|
У(2л)3' 2 |
Р | |
|
|
|||
V1 |
|
|
/ |
, |
дУ |
|
(72) |
|
|
|
(0+ “лГ |
|
|||
2й>0°0 |
|
|
|
|
|||
где |
|
|
А ) |
|
|
|
|
|
|
|
» |
|
|
|
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
4есо;о |
|
|
|
|
' - Й |
н |
Н |
' - ? |
[ т + Н |
} |
' ”- |
|
Уравнение Понтрягина. В задачах надежности часто оказывается необходимым вычислять вероятность невыхола изображающей точки системы за пределы некоторой области фазового пространства в те чение заданного времени. Указанная вероятность подчиняется урав нению, сопряженному с уравнением (63), при заданных краевых условиях на границе области и заданных начальных условиях. Из этого уравнения получается дифференциальное уравнение в частных.
544 |
Статистические задачи колебаний |
и устойчивости |
|||
производных, |
определяющее среднее время |
достижения |
границы — |
||
уравнение Л. С. Понтрягина: |
|
|
|||
|
|
$ |
$ |
|
|
|
2 |
2 |
2 х°рдх*>адх% |
|
(73) |
|
|
|
|||
|
|
0=1 |
0=1 |
|
|
Здесь |
верхний |
индекс у х|} соответствует начальным |
значениям |
||
переменных ха. На границе области функция Т |
х^) должна |
||||
обращаться в нуль. Если начальное состояние подчиняется распреде лению р (х®, *2, • •» *5). то среднее время Т достижения границы опре деляют по формуле
? = 1 |
| Г (■ *?. *“• |
4 ) Р (ХЬ *?...... *•?) X |
|
|
X 4х\ |
4х°$, |
(74) |
В статье [8 ] |
указан эффективный метод приближенного |
решения |
|
уравнения (73). При помощи этого метода для механической системы с одной степенью свободы, имеющей две устойчивые особые точки, было вычислено среднее время пребывания внутри области, которая ограни
чена |
сепаратрисой. |
|
ЛИТЕРАТУРА |
1. |
А н д р о н о в А. А., П о н т р я г и и Л. С., В к т т А. А. О ста |
тистическом рассмотрении динамических систем. «Журнал экспериментальной теоретической физики». Т. 3. 1933, № 3.
2.Б о л о т и и В. В. О стационарных распределениях о статистической динамике упругих систем. Рига, изд-во АН Латвийской ССР, 1963.
3.Б о л о т и н В. В. Статистические методы в нелинейной теории упру гих оболочек. «Изо. АН СССР, ОТН», 1958, № 3.
4. |
Б о л о т к к |
В. В. |
Статистические |
методы |
в строительной меха |
|
нике. М., Стройиздат, |
1961 |
(1-е изд ), 1965 (2-е нзд.). |
||||
5. |
Б о л о т к н |
В. В. |
Динамический краевой эффект при упругих коле |
|||
баниях |
пластинок. |
Инженерный сборник. Т. 31, 1961. |
||||
6. Б о л о т и н |
В. |
В. |
Обзор исследований по статистической динамике |
|||
упругих систем. Сб. |
«Расчеты на прочность», |
М., Машгиз, 1964, № 10. |
||||
7. |
Б о л о т и н |
В. В. |
Об упругих колебаниях, |
возбуждаемых случай |
||
ными силами с широкополосным спектром. «Изв. вузов. Машиностроение», 1963, • № 3.
8. Б о л о т и и В. В., М а к а р о в Б. П. О приближенном решении
некоторых задач статистической динамики. «Изв. АН СССР, Механика», 1965. к 3.
9. Б о л о т и н В. В. Механика твердого тела и теория надежности. Труды Второго Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике.
М., изд-во «Наука», |
1966. |
|
Устойчивость упругих |
и |
упруго-пластических |
||
10. |
В о л ь м и р |
А. С. |
|||||
систем. |
М., Физматгиз, 1962. |
Статистический метод |
в |
теории |
устойчивости |
||
11. |
В о р о в и ч |
И. |
И. |
||||
оболочек. ПММ. Т. 23. Вып. 5, 1959. |
|
|
потери устой |
||||
12. |
Г о н ч а р е н к о |
В. М. К определению вероятности |
|||||
чивости оболочкой. «Изв. АН СССР, ОТН, Механика и машиностроение»,
13. Г о н ч а р е н к о В. М- Применение марковских процессов в тео рии устойчивости оболочек. «Украинский математический журнал», т. 24, 1962. № 2.
И. Д и м е и т б е р г М. Ф. Вынужденные колебания пластин при нагрузке, представляющей собой пространственно-временнбй случайный про цесс. «Инженерный журнал», т. 1, 1961. № 2.
|
|
|
|
|
Литература |
|
|
|
545 |
|
16. |
Д и ме н т б е |
р г |
М. Ф. |
Нелинейные |
колебания |
упругих панелей |
||||
при случайных нагрузках. «Изв. АН СССР. ОТН, Механика и машинострое |
||||||||||
ние». 1962. № 5. |
|
|
М. Ф. Резонансные свойства системы с одной сте |
|||||||
16. |
Д и м е и т б е р г |
|||||||||
пенью свободы со случайно изменяющейся собственной частотой. «Инженер |
||||||||||
ный журнал» Механика твердого тела. |
1966. |
№ |
1. |
|
|
|||||
17. |
Е к н м о в |
В. |
В. |
Вероятностные методы в строительной механике |
||||||
корабля. Л., «Судостроение», |
1966. |
|
|
|
|
О линеари |
||||
18. |
К о л о в с к и й |
М. 3., П е р в о з в а и с к и й А. А. |
||||||||
зации по функции распределения в задачах теории нелинейных колебаний. |
||||||||||
«Изв. АН СССР, ОТН, Механика и машиностроение», 1962, № |
5. |
|||||||||
19. |
Л и п п м а и |
Г. |
О применении статистических методов к проблеме |
|||||||
бафтннга. Сб. «Механика», |
1953, М., ИЛ, № 5. |
Н. |
Вероятностный анализ |
|||||||
20. |
Л и ф ш и ц |
Н. |
А., |
П у г а ч е в |
В. |
|||||
систем |
автоматического |
управления. М., |
«Советское |
радио», 1963. |
||||||
21.М а к а р о в Б. П. Применение статистического метода для анализа экспериментальных данных по устойчивости оболочек. «Изв. АН СССР, ОТН, Механика и машиностроение», 1962, № 1.
22.М а к а р о в Б. П. Применение статистического метода для анализа нелинейных задач устойчивости оболочки. Теория пластин и оболочек. Труды II Всесоюзной конференции. Изд-во АН УССР, 1962.
23.М а к а р о в Б. П. Анализ нелинейных задач устойчивости оболочек
при помощи |
статистического |
метода. |
«Инженерный журнал», |
Т. |
3, 1963, |
||
№ 1. |
П у г а ч е в В. |
С. |
Теория |
случайных функций и ее |
применение |
||
24. |
|||||||
к задачам автоматического управления. М., Фнзматгиз, 1960. |
|
напряже |
|||||
25. |
Р ж а |
и и ц ы н |
А. Р. Статистические методы определения |
||||
ний прн продольном изгибе. Научные сообщения ЦНИПСа. М., Стройпздат, 1951, Л'г 3.
26. |
С о л о д о в н и к о в |
В. |
В. |
Введение в |
статистическую динамику |
||||||||
систем автоматического |
управления. |
М., |
Гостехнздат, |
1960. |
|
||||||||
27. |
С т р а т о к о в и ч |
Р. Л. |
|
Избранные вопросы теории флуктуаций |
|||||||||
в радиотехнике. «Советское радио», |
1961. |
|
|
|
проч |
||||||||
28- |
С т р е л е ц к и й |
Н. С. |
Основы статистического учета запаса |
||||||||||
ности сооружений, М.. Стройпздат, |
1947. |
|
процессов. Успехи |
физи |
|||||||||
29. |
Т и х о и о п |
В. |
И. |
Выбросы случайных |
|||||||||
ческих |
наук. Т. 77, |
1962, |
№ 3. |
|
|
М. |
Поведение |
механических систем при |
|||||
30. |
Т о м с о н У., |
Б э р т о и |
|||||||||||
случайных возмущениях. Сб. «Механика». М., ИЛ, |
1958, Ха 4. |
|
|||||||||||
31. |
Ф а н г |
И. |
К статистическому расчету аэродинамических нагрузок. |
||||||||||
Сб. «Механика». |
М., |
ИЛ, |
1954, |
А» |
2. |
|
|
|
|
||||
32.Ф е д о р о в 10. А. Колебания замкнутой круговой цилиндрической
оболочки в поле случайных акустических давлений. «Инженерный журнал», 1963, Ае 3.
33.Ф е д о р о в Ю. А. О нелинейных колебаниях прямоугольной пла
стинки под воздействием случайных сил. «Инженерный журнал», т. IV, оып. 3, 1964.
34.X а з е и Э. М. Определение плотности распределения вероятностей для случайных процессов о системах с нелинейностью кусочно-линейного типа.
«Изв. АН СССР, ОТН, Энергетика н автоматика», 1961, № 3.
35. Ч е л н а и о в И. Б. Колебания системы второго порядка при слу чайных изменениях параметра. ПММ, т. 26, 1962, Лгс 4.
36. |
А г I а г а 1 п а т |
5. |
Т. |
Резропзе о! а 1оабеб попИпеаг з1гшд 1о гап |
|||||||
бот ехНаИоп. |
Лоигп. |
Арр1. |
Мес1ь, |
уо1. |
29, |
п. 3, |
1962. |
5сЫ1- |
|||
37. |
В а г 1 |
5 с И Н. |
З^аЫзНзсНс |
Ме1Ьобеп гиг |
1Лп1егзисНипд етез |
||||||
1е$ 1гп |
Зеедапд. 5сЫ!Гз1есНп1к, |
1959. |
|
Р. |
Мотеп15 о! Ию ои1ри! оГ |
Ппеаг |
|||||
38. |
В о д б а п о 1 |
1 |
.1. Ь., |
К о з I п |
|||||||
гапбот зуз1еш$. Лоигп. Асоиз!. Зое. Атег., уо1. 34, п. 8, 1962.
39.В о I о И п V- V. ВгоабЬапб гапбот у1Ьга11оп5 о! е1азИс $уз1етз. 1п1егпа{. Лоигп. ЗоПбз 51гис1игез, уо1. 2, п. I, 1966.
40.С а и б Ь е у Т. К. Капбош ехМаНоп оГ а зуз1ет \уШ| ЫПпеаг Ьуз1еге$1з. Лоигп. Арр1. МесН., уо1. 27, п. 4. 1960.
41. С а и§[ п е у |
Т. К- Е^и^VаIепМIпеаг^2а!^оп 1есНпI^^1ез. Лоигп. Асоиз(. |
|||
Зое. Атег., уо1. 35, п. 11, 1963. |
К. О. ТЬе гезропзе о! а 1ур1са1 а!гсгаН |
|||
42. С I а г к з о п |
В. Ь., |
Р о г б |
||
з!гис1иге 1о ]е! по!зе. Лоигп. Роу. Аегол. Зое., уо1. 66, п. 613, 1962. |
||||
43. С г а п б а П |
5. |
Н. |
(есШог). |
рапбот у1Ъга11оп, ТесЬпо1оду Ргезз, |
Мазз. 1пз1. ТесЬп., 1958. |
Н. |
РеНигЬаПоп 1есНшчиез !ог гапбот у1Ъга!1оп |
||
44. С г а п б а И |
3. |
|||
о! попИпеаг зуз!етз. |
Лоигп. |
Асоиз*. Зое. Атег., уо1. 35, п. 11, 1963. |
||
546______Статистические задачи колебаний и устойчивости
45. |
О о п п с I 1 |
Ь. Н., |
|
V а п |
С, С. |
ЕГГес! оГ |
1трегГес(1опз оп |
ЬискПле |
|||||||||||||
оГ 1И1п |
суИпйегз апй со1ишп5 ипйег аХ1а! сотргезз1оп. |
Лоигп. |
Аррк |
МесН., |
|||||||||||||||||
V©!. 17, п. 1, 1950. |
Резропзе |
оГ |
р1а1е5 1о а йесаутя |
апс1 сопУесИщ* гапйот |
|||||||||||||||||
46. |
О у с г |
I. |
|||||||||||||||||||
ргез5игс |
!1е1с1. Лоигп. Асои$(. 5ос. Атег., уо1. 31, п. 7, |
1959. |
|
|
|
|
|||||||||||||||
47. |
Е г I п б с п |
А. С., |
5 а т |
а е 15 |
Л. С. Резропзе оГ Т1тозЬепко Ьеаш |
||||||||||||||||
1о гапйот ргосезз. Лоигп. Арр1. МесН., |
уо1. 25, |
п. |
4, |
1958. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
48. |
Е г I п К е п |
А. С., |
5 а т |
и о 1 |
з |
Л. С. |
Оп зГосИазИс Ппеаг зуз(етз. |
||||||||||||||
Лоигл. МаГН. РНуз. (М1Т), уо1. 38, п. 2, 1959. |
т |
(Не |
Г1ис(иа11пг |
|
ргеззиге |
||||||||||||||||
49. |
Р г а п к 1 1 |
п |
К. |
Е. |
Зрасе-соггеЫкпз |
|
|||||||||||||||
Пе1с! |
пеаг 1о а Лс( епе!пе. Лоигп. |
Роу. Аегоп. $ос., Уо1. 65, |
п. 610, 1961. |
||||||||||||||||||
50. |
Р г е и < З с п ( Ь а 1 |
|
А. М., |
5 Ы |
п о 2 и к а |
М. |
РгоЬаЬПИу о! 5(гис- |
||||||||||||||
1 ига! ГаПиге ип<1сг еаг1Нчиаке ассе1ега(1оп. Тгаиз. Ларап Зое. С1У. Епд., |
п. |
118, |
|||||||||||||||||||
1965. |
|
И а г г I 8 Ь. А., |
5 и е гН. 5., |
5 к е п е |
\У. Т., |
В е п ] а 1тм |
п |
К. I. |
|||||||||||||
51. |
|||||||||||||||||||||
ТИе |
з(аЬШ(у о! (Ып-\уа11е<1 ипзНГГепей скссПаг суИпЛсгз ипйег ах!а! |
сотргез* |
|||||||||||||||||||
з1оп |
1пс1ис1п1|? (Не еГГесГз оГ |
1п(егпа! ргеззиге. Лоигп. Аегопаи!. Зс!.. уо1. 24, |
|||||||||||||||||||
п. 8, |
1957. |
|
|
М. |
Л. |
Оп зоипс! |
&епега(е(1 |
нсгосГупаткаНу. |
Ргос. |
||||||||||||
52. |
Ь 1 е Ь I Н I 11 |
||||||||||||||||||||
Роу. Зое., уо1. А 211. п. |
110.7, |
1952. |
|
|
оГ |
(Не Ьаг«1-5рг1пд озс111а1ог. |
|||||||||||||||
53. |
Ь у о п |
Р. |
Н. Еяи1Уа1еп( |
ПпеапгаИоп |
|||||||||||||||||
Лоигп. Асоиз(. Зое. Ашег., уо1. 32, п. 9, 1960. |
|
|
|
|
С. |
В. |
Резропзе |
||||||||||||||
54. |
Ь у о п |
Р. |
Н., |
Н е с к 1 М., |
Н а г е 1 е г о У е |
||||||||||||||||
оГ ЬагдзрНп# озсП1а(ог (о пагго\у-Ьапс1 ехНаНоп. |
Лоигп. |
АсоизГ. Зое. |
Атсг., |
||||||||||||||||||
уо1. |
33, |
п. *10, |
1961. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
55.N а 5 Н А. ЕЕ1ес( о( 1аг#е ёеПесПопз апб 1пШа1 1трегГес(1опз оп (Не ЬискПпЯ о! суИпйгка! зЬс11з. Лоигп. АегопаиГ. Зс1., у. 22, п. 4, 1955.
56.5 т 1I Н Р. \У. Резропзе оГ попИпеаг з1гис1игез (о гапйот ехКаПоп.
Лоигп. Асои$(. Зое. Ашег., |
уо1. |
34, п. |
6, |
1962. |
57. Т а с к 13. Н., Ь |
а т |
Ъ е г ( |
Р. |
Р. Резропзе оГ Ьагз апс! р1а(ез (о |
Ьоипс1агу'1аусг (игЬи!епсе. Лоигп. Аегозрасе Зс!., уок 29, п. 3, 1962.