170 |
|
Устойчивость оболочек |
|
|
|
Значения |
полной |
осевой сжимающей силы |
определяют, исходя |
||
из формул (176) и (178): |
|
|
|
||
|
Рв = 0.605Е |
3x7-1 зш 2а; |
|
|
|
|
|
*М) |
|
|
(179) |
|
|
|
|
|
|
Рн = |
0,18Е |
п1х 51п 2а = |
0,18^Л2л |
а зш 2а. |
|
|
Ко |
|
|
|
|
|
Действие внешнего давления |
|
|||
Коническая оболочка, замкнутая |
в вершине. Функции ш и (р пред |
||||
ставим в виде |
ш = ф (з) а соз /10; |
. ) |
|
||
|
|
( 180) |
|||
|
Ф = |
Х\ (5) |
*б2 о соз п0, |
||
|
|
||||
|
|
|
. |
|
|
где п — число волн, образующихся по параллельной окружности при
потере устойчивости; в — величина, определяемая |
по формуле |
||
/г |
с!еп |
..н |
(Ш) |
| / |
1^12(1- V - ) |
' '1 ’ |
|
/1 — длина образующей от вершины до большего основания; а — угол
наклона |
образующей к |
основанию; Л — толщина |
оболочки. |
|||||
Усилия докритического напряженного состояния при равномерном |
||||||||
нешнем |
давлении <? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Я, = |
- ^ г |
г |
5 ; |
Ъ = ------ ®- |
|
(182) |
|
|
|
|
|
|
1§ а |
|
|
Вводя |
безразмерные |
параметры |
|
|
|
|||
|
|
|
0/х |
. „ |
ЕЛ3 |
|
(183) |
|
|
|
» = Ш |
й с[* о: |
р = |
|
|||
|
|
|
|
|||||
и безразмерную координату |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
ТГ’ |
|
(184) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
приводим формулы (182) к |
виду |
|
|
|
||||
|
|
|
-------- 2~ |
*62 а; |
|
(185) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N2 = — хце3ЕН |
а. |
|
|
|||
Уравнениям |
(165), (166), |
с |
учетом выражений |
(180), |
(183)—(185) |
|||
и пренебрегая |
некоторыми членами |
[1], можно придать |
следующую |
|||||
упрощенную форму: |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
<*2Х1 |
|
Рхъ |
= 0; |
|
(186) |
|
|
|
с1х- |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
(1Ц |
(187) |
|
№ + Х5- * 1 = 0 - |
||
|
Устойчивость оболочек в пределах упругости |
171 |
Исключая из этих уравнений функцию %, получим следующее раз |
|
решающее уравнение: |
(-188> |
4И*3^ М 4 -^>=°- |
|
Уравнение (188) используют в качестве исходного.
Для случая шарнирно опертой оболочки примем функцию ф в виде
где |
ф = Ах3 (1 + ах) 51П пх, |
(189) |
|||
|
б + |
V |
|
|
|
|
а |
|
(190) |
||
|
8-1- V ’ |
|
|||
|
|
|
|
||
при V = |
0,3 а = —0,759. |
|
|
|
|
Уравнение Бубнова-Галеркина, соответствующее дифференциаль |
|||||
ному уравнению (188), имеет вид |
|
|
|
||
1 |
(* з 4 4 4 ^Л х + р * \ |
* |
1 у * а х = °- |
(,э|) |
|
О |
|
0 |
0 |
|
|
Отсюда находим выражение для ц: |
|
|
|
||
\1 = |
|
1 |
|
|
(192) |
|
|
^ ф2 с1х |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
Для оболочки, жестко защемленной по краю, будет |
= 0, |
||||
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
йх |
|
|
ц = - |
|
|
|
(193) |
I**с1х
Выражение (189) подставляем в формулу (192). Из условия мини мума р, по р находим рщщ = 20,4; используя формулы (181), (182), (185), получим значение верхнего критического давления для оболочки, замкнутой в вершине:
’ « = 3 , Ш : ( А ) \ е а | / ГА |
а |
|
||
V (I — V*)» |
|
|||
|
|
|
|
|
|
•5 |
_з_ |
1 |
|
|
|
(194) |
||
= 3,1ЪЕ |
|
а) 2 |
||
|
_з_ * |
|||
(1 - V *)4
172 Устойчивость оболочек
Решение задачи |
методом конечных разностей приводит к следу |
|
ющей формуле для |
критического давления |
[11: |
|
5 |
з |
|
|
(195) |
(1 — V2) 4
Усеченная коническая оболочка (рис. 28). Докритические усилия определяют по формулам
(196)
где 10 — расстояние по образующей от вершины до меньшего основа-
ния. Вводя безразмерную |
координату х = |
, приводим эти выраже- |
||
ния к виду |
|
ч |
|
|
|
|
|
|
|
ре3ЕЛ |
а |
; Д/2 = |
— дгр,е3ЕЛ |
а. (197) |
Величины е и р. определяют по формулам (181) и (183). Как и в слу чае оболочки, замкнутой в вершине, разрешающее уравнение после упрощений получается в виде уравнения (188). Но если в случае замкну
Рис. 28
той оболочки величина х изменялась в пределах 0 ^ х «$:• 1, то теперь
она заключена в пределах ^ х ^ 1.
В результате решения задачи по методу конечных разностей для слу
чая, |
когда усеченная оболочка по |
меньшему основанию защемлена» |
||
а по большему — шарнирно |
оперта, |
получается следующая формула |
||
для |
верхнего критического |
давления |
[1]: |
|
|
|
5 |
3 |
|
(198)
Устойчивость оболочек в пределах упругости |
173 |
Коэффициент Сх берут по графику на рис. 29.
Формулы (194), (195), (198) применимы, если угол а не близок ни
лг
кнулю, ни к - у [в этом предположении получены исходные уравнения
(186)—(188)]. Как показывают эксперименты, этими формулами можно
пользоваться при значениях угла а, лежащих в пределах 20° |
^ 80°; |
||||||
если а^> 80°, то при |
вычислении |
ув кони- |
|
||||
ческую оболочку можно заменить цилиндри |
|
||||||
ческой с радиусом, равным среднему радиусу |
|
||||||
конической |
оболочки. |
|
|
|
|
|
|
Испытания тщательно изготовленных зам |
|
||||||
кнутых и усеченных конических оболочек |
|
||||||
при внешнем давлении показывают, что потеря |
|
||||||
устойчивости сопровождается |
хлопком. Для |
|
|||||
тщательно |
изготовленных |
оболочек экспери |
|
||||
ментальное |
значение |
критического давления |
|
||||
получается |
несколько |
выше |
теоретического, |
|
|||
определенного по формуле |
(195) |
для замк |
|
||||
нутых в вершине оболочек и по формуле (198) |
|
||||||
для усеченных оболочек, |
и ниже |
значения, |
|
||||
получаемого по формуле |
(194). |
В |
среднем |
|
|||
экспериментальная величина |
критического |
|
|||||
давления приблизительно |
на |
5% |
выше зна |
|
|||
чения, вычисленного по формуле (195). и |
|
||||||
примерно |
настолько |
же |
ниже |
величины, |
|
||
определенной по формуле (194). |
|
|
|
||||
Впрактических расчетах можно использовать формулы (195) и
(198)для верхнего критического давления; при этом следует вводить поправочные коэффициенты, аналогично тому, как это рекомендова лось для цилиндрических оболочек при действии внешнего давления.
Кручение
Приведем результаты решения задачи об устойчивости в малом усе ченной, свободно опертой конической оболочки, нагруженной равно мерно распределенными по торцовым сечениям сдвигающими усилиями. Координату 5 по-прежнему отсчитываем по образующей от вершины конуса; соответствующие расстояния от вершины до меньшего и боль шего оснований обозначим через /0 и /х, длину оболочки по образую щей — через /. Сдвигающее усилие на единицу длины контура в пло
скости меньшего основания (при 5 = |
/0) обозначим через |
а в пло |
||
скости большего основания — через |
Т |
эти усилия выражаются че |
||
рез крутящий момент Мк по формулам |
|
|
||
Т |
______ МК |
г р ______ МК |
,.дд |
|
/о |
2л (/о соз а)2» |
11 |
2л (/х со$ а )21 |
|
где а — угол наклона образующей |
к основанию. |
|
||
Приближенная формула для критического сдвигающего усилия имеет вид [1]
ДМРа- 0 Е -~ |
С0 *б4 о. |
(200) |
Т1о = 4 (я г + $ а) |
|
|