174 |
Устойчивость оболочек |
|
|||
|
|
лк |
|
Г я а + €г |
1 Т |
р = 1 + т г ; е4 = х - |
|
[ б ( р * - Ш |
(201) |
||
|
С 2 |
|
|
||
|
Е = 1п ( 1+ т ) : |
|
|
||
|
=2,61 ( ^ ) т |
[ н - ® д а ( - 5 - ) т |
« н - п > ] ; |
||
|
|
1 |
|
|
(202) |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
2(1 + |
*) * |
|
|
Условия |
применимости |
приведенных формул: |
|
||
|
е г ^ 0,1; 0 ,2 55^*^0,33 . |
|
|||
Ниже приведены некоторые значения коэффициента Са при V = 0,3: |
|||||
е |
0,12 |
0,10 |
0,07 |
0,ОБ |
0,03 |
Со |
3,75 |
3,87 |
3,95 |
4,08 |
4,31 |
Подкрепленные оболочки при действии внешнего давления
Конические оболочки, подкрепленные продольными и круговыми ребрами. Приведенное ниже решение задачи получено в предположе нии, что ребра расположены достаточно часто, так что жесткость ребра можно равномерно распределить по длине шага. Сечения продольных и дуговых подкрепляющих ребер, симметрично расположенных отно сительно серединной поверхности оболочки, показаны на рис. 30. Применительно к случаю симметричного расположения ребер введем
следующие обозначения:
|
|
|
24 (1 |
V2) у,,. |
||
|
|
,2 = 1 + 2 4 Я |
- у а )уР; |
(203) |
||
|
|
«>1=Ч |
2&,6? |
(1 — V»); |
||
|
|
- Л |
||||
|
|
2 Ь ^ |
-(1—V2), |
(204) |
||
|
|
<йа= 1- |
ин |
|||
где |
и |
— моменты инерции половины сечения ребра относительно |
||||
осей, лежащих в срединной поверхности,
, Р_ |
Ч * ? )3 |
+Т^в? (*+«?)*! |
^ -------- \ 2 ~ |
||
]» _ |
(й? ) 3 |
|
12 |
+ Т « ( И б ? ) г; |
|
Устойчивость оболочек в п р е д е л а х |
упругости |
175 |
|
Л — толщина оболочки; |
Ь2 — значения |
толщины |
продольных |
(рис. 30, а) и круговых (рис. 30, б) ребер соответственно; б{\ 6$ — вы
сота ребер; 1Ъ (2 — шаг ребер.
Если оболочка подкреплена односторонними ребрами (сечение кру говых ребер показано на рис. 31), то формулы (203) и (204) примут вид
(1 = 1 |
, 12 (1 — V2) |
гРт |
||
<2=1 |
+ |
12(^ |
уа)^ - . |
(205) |
|
|
|
6,6? |
|
а г = |
1+ |
6, 6? |
(206) |
|
- ^ |
- ( 1- ^ ) . |
|||
здесь У{* — момент инерции сечения продольного ребра относительно
центральной оси профиля кругового сечения оболочки; У? — момент
инерции сечения кругового ребра относительно центральной оси про филя осевого сечения оболочки.
Верхнее критическое значение внешнего давления для шарнирно
опертой замкнутой |
круговой |
конической оболочки будет |
[1] |
||
|
|
|
5 |
з |
|
|
л |
и |
; : ) 2 |
(*8 а ) 2з > |
(207) |
|
|
||||
|
|
|
|
( ( - V 2) 4 |
|
|
Р, = |
|
— V2 |
- |
(208) |
|
|
|
|
||
|
_ |
|
(1 — V2) (02 |
|
(209) |
|
На |
|
— V 2 |
|
|
|
|
|
|
||
Формула (207) |
получена |
в предположении, что угол а |
не близок |
||
ни к нулю, ни к |
В результате решения задачи с помощью метода |
||||
конечных разностей получается формула (207) с коэффициентом 2,8 вместо 3,15.
Вычисления показывают, что круговые ребра значительно повышают критическое давление, продольные ребра менее эффективны.
Для усеченной оболочки верхнее критическое давление
(1 — V2) 4
Значения коэффициентов Съможно определять по графику на рис. 29 при тех же граничных условиях.
176 |
Устойчивость оболочек |
ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ
Сферические оболочки
Во многих областях техники применяют сферические оболочки
в виде сегментов, закрепленных по краю. Следует различать сегменты
сбольшим углом охвата, стрела подъема Н которых сравнима с радиу сом кривизны срединной поверхности К (рис. 32), и пологие панели, для которых Н < Будем рассматривать устойчивость сегментов большого подъема. При потере устойчивости такого сегмента образуются сравнительно мелкие вмятины, и критические нагрузки для него будут темн же, что и для полной сферической оболочки. Поэтому будем опре делять критические нагрузки для полной сферической оболочки, на
ходящейся под действием внешнего равномерного давления 7.
Примем, что в пределах первич ной вмятины оболочка является по логой. Исходные уравнения линей ной задачи имеют вид [1]
|
° ’ 4“" = |
У2<1>+ |
Чг, |
|
|
|
||
|
1 |
, |
|
I |
„ |
( 211) |
||
|
|
|
|
|
||||
где ф — функция усилий в срединной |
поверхности; |
К — радиус |
|
сре- |
||||
динной поверхности; Н— толщина оболочки; |
О = |
|
Е№ |
|
|
у 3 |
||
—— —----- у—; |
|
|||||||
и у 4 — операторы по формулам (11) |
и |
(13). |
|
12(I— V3) • |
|
|||
Исключая функцию <р, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
Е1г
(212)
Найдем величину дг. Если внешнее давление <7, то нормальные усилия во всех нормальных сечениях оболочки
Сжимающие усилия N и напряжения о считают положительными, тогда
2 » |
2Л ’ |
(213) |
|
Обозначим через до0 радиальное перемещение всех точек срединной поверхности, соответствующее начальным напряжениям а. Деформа
ция укорочения вдоль дуги любого нормального сечения будет е =
с другой стороны, эта величина |
|
ст(1— у) |
? /? (! — у ) . |
Е |
2ЕН » |
Устойчивость оболочек в пределах упругости |
177 |
отсюда находим
(214)
В дальнейшем через до будем обозначать дополнительный прогиб, имеющий место при выпучивании оболочки. Величина в уравне ниях (211), (212): дг= —/кту2до. Уравнение (212) принимает вид
О2
— V*® + У2'*' = 0. (215)
Примем, что решение уравнения (215) должно удовлетворять соот
ношению |
|
у2до = |
— Я,2до, |
(216) |
|
|
|
||||
где Я — неопределенный |
параметр. |
|
|
|
|
Тогда из уравнения |
(215) получим |
|
|
||
о = |
^ 12 |
г |
Е |
(217) |
|
|
|
/I |
+ |
/?2Я2 " |
|
Минимизируя о по Я2, |
находим |
|
|
||
V |
|
1 |
|
|
(218) |
= -щ - V 12(1 -V * ). |
|||||
Далее, по формуле (217) определяем величину верхнего критиче
ского напряжения |
|
|
|
|
1 |
Е 4 - |
« 0 .6 0 5 ^ 4 - . |
(219) |
|
сгв |
||||
1/3(1 - V |
2) |
К |
/я |
|
Напряжению по формуле |
(219) |
соответствует давление |
|
|
9 |
Р |
|
|
( 220) |
Я* |
|
|
||
К 3 ( 1 — V2) |
|
|
|
|
Формула (219) для верхнего критического напряжения для сфери ческой оболочки в точности совпадает с выражением (43) для верхнего критического напряжения, отвечающим случаю осевого сжатия цилин дрической оболочки.
Определяя верхнюю критическую нагрузку, мы не рассматривали форму выпучивания оболочки. Исследование формы изогнутой поверх ности, проведенное в линейной постановке, показывает, что в случае, если выпучивание является осесимметричным, потеря устойчивости должна сопровождаться появлением одной сравнительно глубокой вмя тины и ряда кольцевых складок, размельчающихся по мере удаления от центра основной вмятины [1].
Реальные сферические оболочки оказываются такими же чувстви тельными к начальным несовершенствам в форме срединной поверхно сти, как и сжатые вдоль оси цилиндрические оболочки. Выпучивание сферических оболочек, как правило, сопровождается хлопком, и истин ные значения критических усилий лежат обычно гораздо ниже значе ний, найденных по линейной теории. Как показывают испытания сфери ческих сегментов, особенность процесса выпучивания сферических
178 |
Устойчивость оболочек |
оболочек состоит в том, что в одних случаях он сопровождается появле нием одной быстро развивающейся вмятины, в других — образованием группы волн, соединяющихся затем обычно в одну глубокую вмятину. Поэтому при исследовании устойчивости сферических оболочек в боль шом возможны два подхода к задаче. Первый подход состоит в рас смотрении процесса развития одиночной вмятины и сводится к решению осесимметричной задачи; при втором подходе исследуют несимметрич ное выпучивание оболочки. Приведем результаты, полученные при использовании первого из этих подходов.
Основные нелинейные уравнения теории пологих оболочек имеют вид \\\
(221)
— у 4Ф -------- — Ь (ш,
где Ф — функция напряжений в срединной поверхности; <7— попереч ная нагрузка; Ь — оператор по формулам (32) и (36).
Воспользуемся полярными координатами г, ср. Совместим начало радиуса-вектора с центром вмятины. Если функции ш и Ф не зависят
от ф, то получаем |
следующие выражения для операторов, входящих |
в уравнения (221) |
[1]: |
|
_ 1 _ д _ / й т _ Л Ф \ # |
|
= ~ 7 ' йг \ йг * йг ) * |
|
(222) |
Уравнения |
(221) |
примут вид |
|
|
_ |
1 |
Л ( 4Ф\ йЛ /( йФА |
йюш \ , |
дг |
|
Ж'Чг\г Лг)+ йЛ йг ' |
4г / |
А ’ |
|
(223)