Материал: Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3

Найдем выражение для радиального перемещения и точек срединной поверхности. При этом используем следующую формулу для деформации удлинения в кольцевом направлении:

Рассмотрим результаты различных решений нелинейной задачи, основанные на исследовании изменения стрелы прогиба одной вмятины, образующейся в полной сферической оболочке, в зависимости от давле­ ния. Трудность задачи состоит в установлении граничных условий на контуре вмятины, так как остальная часть оболочки также подвергается деформации. В одном из вариантов решения по методу Ритца в качестве первого приближения принималось, что на контуре вмятины (рис. 33) выполняется условие полного защемления:

где с — радиус вмятины. Предполагалось, далее, что по краю вмятины отсутствуют радиальные перемещения:

В полюсе при г -> 0 радиальные напряжения должны быть огра­ ничены по величине; отсюда из формул (226) вытекает четвертое гранич­

зуют метод Ритца: определяют полную энергию системы и полученное выражение для полной энергии варьи­ руют по двум параметрам. В окончательном результате решения нахо­

Полученное значение ан почти в 4 раза меньше верхнего критического напряжения ств.

В результате другого, уточненного решения задачи по методу Ритца нижнее критическое напряжение оказалось

0,193

0,203.

Граничные условия, принятые при получении формулы (234), не вполне соответствуют истинному характеру сопряжения зоны вмя­ тины с остальной частью оболочки: защемление по контуру вмятины надо считать не жестким, а упругим. Решение задачи в таком предполо­ жении по методу Бубнова-Галеркина в первом приближении приводит

= —0,13. В результате уточненного решения получается положитель-

]Г\

Следовательно, величина о„, найденная в различных вариантах решения, колеблется в очень широких пределах, что свидетельствует о резкой чувствительности результатов применения вариационных методов к выбору аппроксимирующих функций.

Обратимся к данным, полученным в результате интегрирования дифференциальных уравнений с помощью ЭЦВМ, приведенным на

ветствующие основным формам равновесия (эти формы показаны на

рис. 35). Наинизшая точка кривой соответствует величине стн = 0,067 при стреле прогиба и/ # 22,5/1. Следовательно, величина нижнего кри­ тического напряжения, полученная в этом решении осесимметричной задачи, лежит значительно ниже, чем это вытекает из решений по ме­

тоду Ритца, и вместе с тем выше значения он = —0,13, полученного в одном из решений по методу Бубнова-Галеркина. Надо полагать, что коэффициент 0,067 не является окончательным и возможны дальнейшие уточнения. Приведенное решение построено на основе теории пологих оболочек, и результаты могут быть иными, если использовать уточнен­ ные уравнения. Кроме того, задача считалась осесимметричной. Во мно­ гих случаях при потере устойчивости реальных оболочек развивается ряд вмятин, заполняющих некоторую область оболочки; выпучивание сопровождается взаимным влиянием (интерференцией) вмятин. Учет такого характера выпучивания оболочки требует рассмотрения несим­ метричной задачи.

Данные теоретического исследования влияния начальных неправиль­ ностей формы показывают, что при стреле начальной погиби вмятины,

равной толщине оболочки, верхнее критическое напряжение ое сни­

жается на 39% по сравнению с ов для оболочки идеальной формы. Экспериментальные данные показывают [1 ], что имеющиеся теорети­

ческие исследования далеко не охватывают всего диапазона различных

ния критического напряжения характеризуются значительным разбро­ сом и зависят от величины угла, охватываемого сегментом. Введем

нии давлением масла величина о составляла от —5-5— до - 0 г . . Испы- о,о

тания при постоянном объеме дают меньшее рассеяние эксперименталь­ ных точек, чем при постоянном давлении. В случае медных оболочек

Можно считать, что реальные критические напряжения акр подъеми­ стых сферических сегментов лежат между верхним критическим значе­

нием св = 0,605 и нижним значением, которое условно будем считать

к снижению окр. Впредь до накопления новых теоретических и экспери­ ментальных данных в практических расчетах следует исходить из раз-

зоваться приведенными в табл. 2 ориентировочными данными для срасч н критического давления драСц относящимися к тщательно изготовлен­ ным оболочкам.

2. Расчетные значения напряжений и нагрузок для сферических оболочек