318 |
Свободные и вынужденные колебания стержней |
|
||
|
Правые части этих уравнений определяются выражен |
|
||
|
I |
I |
|
|
|
Рь ( 0 = | |
Р (*. О X* (/) йх: | т (х) |
(ж) Ох. |
(90) |
Знаменатель равен единице при нормировании собственных форм по выражению (9).
Те же соотношения остаются справедливыми и для других типов ко
лебаний — крутильных (с |
заменой |
и |
на (р) |
и поперечных (с заме |
||
ной и на о). |
|
|
|
|
|
|
Пример 12. Определить вынужденное движение двухопорной балки по |
||||||
стоянного сечения под действием |
внезапно приложенной сосредоточенной |
|||||
силы Р посередине пролета. |
|
|
определяются |
выражением |
||
Собственные формы колебаний |
||||||
|
„ |
, . |
|
, |
Аллг |
|
|
х к М = 5,11 —Г~‘ |
|
||||
Для вычислений по формуле (90) необходимо найти: |
||||||
/ |
|
|
|
|
I |
|
Р {х. /) Хк (х) 4х = Р з!п |
|
^ т(х) Л* йх = |
||||
Следовательно, |
|
|
2Р |
, |
йя |
|
|
|
|
|
|||
и уравнения (89) принимают вид |
|
|
|
|
||
« |
, |
2 |
|
2Р |
АЛ |
|
5а+ ра5а- — 51П— *
А*я* 1 / 1 7
РЬ~ I* V т■
Решение этих уравнений при нулевых начальных условиях:
Ал
2Р з!п — 1 — со$ Рк1
$ь = -
4
намическое перемещение определяется выражением типа (88)
|
— соз |
Алх |
|
2------51П — |
|
|
Рк |
|
Так, для середины пролета |
|
|
|
1 — соз р ^ |
|
А=1, 3.5 |
4 |
|
Полученный ряд сходится очень быстро, так как знаменатели отдельных слагаемых возрастают пропорционально А4.
Колебания рамных систем |
319 |
КОЛЕБАНИЯ РАМНЫХ СИСТЕМ
Общие сведения
Рамные конструкции, как и отдельные стержни, могут быть схема тизированы в виде систем с конечным числом степеней свободы (см. стр. 305): в этом случае их рассчитывают согласно указаниям, при веденным в гл. 4. Ниже даны сведения о расчетах свободных и вы нужденных колебаний плоских рам, рассматриваемых как системы с распределенными параметрами. При этом предполагается, что каждый из стержней, входящих в состав рамы, имеет постоянное поперечное сечение с жесткостью ЕЗ и равномерно распределенную массу интен сивностью т.
Наиболее удобен для динамического расчета таких систем метод перемещений, основы которого, применительно к статическим задачам, были изложены в гл. 3, т. 1. Согласно этому методу основная система образуется путем введения связей, препятствующих поворотам и ли нейным смещениям всех узлов рамы (если соответствующая подвижность не исключена связями, имеющимися в заданной системе). За «лишние» неизвестные принимают угловые и линейные смещения узлов, причем для определения неизвестных служат канонические уравнения
Г 11^1 |
“Ъ Г 12^2 + |
• * • - { - |
К щ |
= |
0; |
Г"21^1 + Г22^2 |
***”{“ К<ьр —0; |
||||
|
|
|
|
|
(91) |
ГЛ1%1 |
Н" ГП‘2%2 4" * * * *Ь К п р |
= |
О! |
||
здесь г/* — единичная |
реакция, |
т. е. |
реакция, возникающая в 1-й |
||
дополнительной связи при равном единице смещению по к-му направле нию (при неподвижности остальных дополнительных связей); Д,-р — реакция, возникающая в «-й дополнительной связи вследствие действия заданной нагрузки.
Ниже рассмотрены только случаи одночастотных колебаний: сво бодных колебаний по одной из собственных форм (когда искомыми яв ляются собственные частоты) или вынужденных колебаний под действием моногармонических возмущающих сил (когда искомыми являются амплитуды колебаний). В этих случаях величины 2*, входящие в урав нения (91), представляют собой амплитуды перемещений, а коэффи циенты Г{ь и свободные члены Я/р — амплитуды соответствующих реакций.
Выражения для определения коэффициентов г/* в зависимости от схемы стержня, входящего в основную систему, и от типа заданного единичного смещения приведены в табл. 15 (функции 5, Т, V , V см. в табл.4).
Свободные члены К1Рв зависимости от схемы стержня для случаев, когда возмущение задано в виде сосредоточенной посередине пролета силы Р $ш (1)*, определяют по формулам табл. 16.